4-杆件系统有限元法.

第四章杆件系统有限元法杆件系统有限元法第四章杆件系统有限元法§4.1平面及空间桁架结构有限元§4.2平面及空间刚架结构有限元杆件系统有限元法Teijuuδ1.单元位移模式如图所示的杆单元，横截面面积为，长度为，材料弹性模量为，设单元有两个节点，由于该单元只承受轴向载荷，故节点位移只有轴向位移，节点位移向量为,ijAlE节点力向量TeijFFFxyoij4.1.1桁架单元刚度矩阵杆件系统有限元法由于单元上两个节点的位移都只有一个自由度，因此可设单元的位移模式为坐标x的一次函数，即12ux式中：，为待定常数，可根据单元的节点位移确定，即：在节点时，，；在节点时，，，代入上式，得1iixxiuujjxxjuu()jijiiiuuuuuuxxll上式可写为eeeu=N形函数表示为1eijjiNNxxxxlN4.1.1桁架单元刚度矩阵xyoij杆件系统有限元法2.单元应变单元只有轴向应变，将位移代入，得ux111eeeel式中：——单元应变矩阵，如下e111el3.单元应力将应变代入物理方程，则=Eε11eeeeEl=S4.1.1桁架单元刚度矩阵式中：——单元应力矩阵，为eS11eElS杆件系统有限元法4.单元刚度矩阵单元的单元刚度矩阵为eeTeeTeldVAdxKBDBBEB将单元应变矩阵代入上式，可得局部坐标系下桁架单元刚度矩阵为1111eEAlK4.1.1桁架单元刚度矩阵杆件系统有限元法由于平面桁架单元中每个节点有两个自由度，因此将上式进一步扩展，可得到在局部平面坐标系xoy下桁架单元刚度矩阵为1010000010100000eEAlK同理，由于空间桁架单元中每个节点有三个自由度，因此桁架单元在局部空间坐标系下的单元刚度矩阵为100100000000000000100100000000000000eEAlK4.1.1桁架单元刚度矩阵杆件系统有限元法5.等效节点力若载荷直接作用在节点上则可作为节点力处理，对于其它载荷情况下的基本原理和相应的公式形式同平面问题，这里不再赘述。4.1.1桁架单元刚度矩阵杆件系统有限元法在以上的推导过程中可以发现，局部坐标是根据单元的几何形状选取的，但不同的单元一般具有不同的局部坐标系，因而不能进行不同单元刚度矩阵间的混合运算，即得不到整个计算模型的有限元计算格式。解决这个问题的唯一途径就是建立整体坐标与局部坐标间的坐标变换，并通过这种交换来得到单元刚度矩阵在整体坐标系下的显式。平面桁架单元如图所示。局部坐标系xoy与整体坐标系的夹角为。节点在局部坐标系中的位移与该节点在整体坐标系中的位移间的关系如下xoyicossinsincosiiiiiiuuvvuv4.1.2桁架单元转换矩阵xyxyoij杆件系统有限元法xyxyoij同理，节点在局部坐标系中的位移与节点在整体坐标系中的位移间的关系为jcossinsincosjjjjjjuuvvuv4.1.2桁架单元转换矩阵杆件系统有限元法则在整体坐标系中的节点位移用局部坐标系中的节点位移表示为cossin00sincos0000cossin00sincosiiiieeejjjjuuvvuuvvT式中，称为平面桁架单元的转换矩阵，如下eTcossin00sincos0000cossin00sincoseT4.1.2桁架单元转换矩阵xyxyoij杆件系统有限元法在整体坐标系和局部坐标系中节点力之间的转换关系经推导后，有如下关系式ixixiyiyeeeejxjxjyjyFFFFFFFFFTTF00etTt123123123=lllmmmnnnt经过同样的推导过程，可得空间桁架单元的转换矩阵为4.1.2桁架单元转换矩阵xyxyoij可以证明，转换矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，即eT1TeeT=T杆件系统有限元法在局部坐标系下单元的平衡方程表示为eeeKF在整体坐标系下单元的平衡方程为eeeKF将式转换矩阵代入式，得eeeeeKTTF即1eeeeeTKTF得1eeeeK=TKT4.1.3整体坐标系下的单元刚度矩阵则桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为1TeeeeeeeKTKTTKTxyxyoij杆件系统有限元法将式局部坐标系下的单元刚度矩阵和转换矩阵代入上式，得平面桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为22222222coscossincoscossincossinsincossinsincoscossincoscossincossinsincossinsineEAlK4.1.3整体坐标系下的单元刚度矩阵xyxyoij杆件系统有限元法同理，得到整体坐标系下空间桁架单元刚度矩阵为22222222coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoseEAlK2222coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos式中：、和——局部坐标轴在整体坐标系下的方向余弦。xcoscoscos4.1.3整体坐标系下的单元刚度矩阵杆件系统有限元法在组装桁架结构总体刚度矩阵时，首先要计算每一个单元在整体坐标系下的刚度矩阵，这里需要强调的是：单元刚度矩阵一定是在整体坐标系下的，而不是局部坐标系下的；然后进行总体刚度的组装，桁架结构总体刚度矩阵的组装过程与第3章中的平面问题（如三角形单元）是一致的。4.1.4总体刚度矩阵杆件系统有限元法用有限元法求解图示结构的桁架内力，设各杆的EA为常数。1234ll①②③④⑤⑥Pxy4.1.5算例杆件系统有限元法解：（1）单元和节点编码如图所示，图中箭头的指向为局部坐标系的正向。4.1.5算例1234ll①②③④⑤⑥Pxy杆件系统有限元法4.1.5算例（2）计算各单元的单元刚度矩阵。eK单元①，；单元②，；单元③，；单元④，；单元⑤，；单元⑥，，则0900009000045045(1)(3)0000010100000101EAlKK(2)(4)1010000010100000EAlKK1234ll①②③④⑤⑥Pxy杆件系统有限元法(5)111111111111221111EAlK(6)111111111111221111EAlK；（3）形成整体刚度矩阵1.350.35000.350.35100.351.35010.350.3500001.350.35100.350.35010.351.35000.350.350.350.35101.350.35000.350.35000.351.3501100.350.35001.350.35000.350.35010.351.35EAlK4.1.5算例杆件系统有限元法（4）形成整体载荷列阵1122000TxyxyRRRRPF轾=-臌式中：、、、——节点1、2所对应的支座反力。1xR1yR2xR2yR（5）建立整体平衡方程，求解位移分量1.350.35000.350.35100.351.35010.350.3500001.350.35100.350.35010.351.35000.350.350.350.35101.350.35000.350.35000.351.3501100.350.35001.350.35000.350.35010.351.35111122223344000xyxyuRvRuRvRuvPuv4.1.5算例1234ll①②③④⑤⑥Pxy杆件系统有限元法由节点1和节点2的约束条件，即，划去上式的1、2、3、4行与1、2、3、4列，得11220uvuv33441.350.350000.351.3501001.350.350010.351.350uvPuv解得节点位移为33440.55782.13530.44221.6931uvPluEAv1234ll①②③④⑤⑥Pxy4.1.5算例杆件系统有限元法（6）求解内力单元在局部坐标系下的内力为，则单元1的内力为1eeeeF=K1(1)(1)(1)(1)1010010000000010000010100001000000001000EAlFKT(2)0.5600.560TPPF(3)0.4400.440FTPP(4)0.4400.440FTPP(5)0.6300.630FTPP同理得4.1.5算例(6)0.7900.790FTPP由此可得，单元①为零杆；单元②受拉，轴力为0.56P；单元③受压，轴力为-0.44P；单元④受压，轴力为-0.44P；单元⑤受拉，轴力为0.63P；单元⑥受压，轴力为0.79P。杆件系统有限元法1.无轴向变形的平面梁单元1）单元位移模式如图所示的梁单元为一个无轴向变形的等截面直杆，共有两个节点，节点位移包括挠度和转角，节点力包括剪力和弯矩。xyjQiQjMiMjil4.2.1平面刚架单元杆件系统有限元法单元的节点位移向量表示为Teiijjvv节点力向量表示为TeiijjQMQMF设单元的挠度的位移模式取为v231234()vxxxx将单元上两个节点的坐标和相应的位移代入上式，可得单元的位移模式为()eevxN4.2.1平面刚架单元xyjQiQjMiMjil形函数表示为1234eNNNNN323312232223333224(32)/(2)/(32)/()/llxxllxlxxllxxlxlxlNNNN杆件系统有限元法2）单元应变由材料力学可知，梁在发生弯曲变形而引起梁的轴向变形产生的应变称为梁的弯曲应变，可由下式计算22dvydx4.2.1平面刚架单元将位移代如，可得eeeB式中：——单元应变矩阵，可分块表示为eB1234eBBBBB132233421266412662yBxllyBxlyBxllyBxll