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1选修2-2：教材与教法分析第一章导数及其应用一、地位与作用微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在选修模块中，学生将学习导数和定积分的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受它们在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。二、课标要求导数及其应用的基本教学要求是：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．能根据导数定义，求函数2,,ycyxyx，3,yx1yx，yx的导数（文科只要求求函数2,,ycyxyx，1yx的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()faxb的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表．3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求)7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求)8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．三、内容说明1．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。2．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。4.关注微积分的文化价值。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。第一：变化率与导数1．教材分析2本节主要包括三方面内容：变化率、导数概念、导数的几何意义．实际上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不同角度．首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，从数形转换的角度，由数到形，借助函数图象，探求切线斜率与导数的关系，阐明导数的几何意义．导数概念的核心——变化率。变化率：平均变化率、瞬时变化率。平均变化率——割线的斜率——切线的斜率。要重视4页上方的思考题。导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有着极其丰富的实际背景和广泛应用。教科书选取了两个典型的变化率问题，引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画显示问题的过程，体会导数的基本思想，理解导数的含义。教学重点：让学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．教学难点：让学生体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的逼近方法；理解导数的概念．2．教学建议（1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手，引入平均变化率，让学生了解平均变化率的几何意义．（2）从平均速度到瞬时速度，从瞬时速度到导数，让学生经历导数概念的形成过程．（3）从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义．（4）建立导函数概念．（5）极限的处理：一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。这样一来，其一，避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力放于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。但是极限的符号还是可以引入的，这个不要过多解释，只把其作为表示语言表述:当x趋近于0时，00(xx)(x)ffx趋近于一个定值，这个定值就是x0处的导数。在教学中值得注意的是，教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法，并不追求理论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分关注这一点，将教学重点放在概念内涵的理解上。第二：导数的计算1．教材分析本节主要包括三方面内容：一是利用导数定义求几个常见函数的导数；二是利用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．三是复合函数的导数。利用导数定义求导数是最基本的方法，但最终要归结为求极限，而新课程并未介绍极限知识，因此教科书只是采用这种方法计算了五个常见函数的导数，意在让学生感受这种基本方法．同时也课对导数概念进行复习、巩固。教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则，并未推导这些公式和法则，只要求利用它们求简单函数的导数，意在让学生掌握公式法求导数．教学重点：让学生会根据导数定义求函数2,,ycyxyx，3,yx1yx，yx的导数（文科只要求求函数2,,ycyxyx，1yx的导数）；建议不要粗略而过，要一一求解。能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学难点：（1）利用导数定义求几个常见函数的导数；（2）求简单的复合函数（仅限于形如()faxb的导数，文科数学不做要求)．32．教学建议（1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题．（2）让学生感受定义法求导数的过程．以便后来不觉得抽象（3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯．（4）通过适量的练习，让学生熟悉公式法求导数．（5）对复合函数求导问题，仅限于形如()faxb的函数求导，关键是正确地分析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应避免过量的形式化的运算练习．建议复习符合函数的相关知识：举例说明何为复函数，内层函数、外层函数？学生必须能够准确快速识别出一个复合函数是由什么函数符合而成的。控制难度内层只限一次函数复合函数求导法则的推导、怎样才能让学生更快更好的理解、掌握？仔细研究课本，期望大家贡献一些好的方法。举例：求导过程的书写举例说明。进行必要的纠错与反馈，不能轻易相信学生人人都掌握好了。（6）增加课时,求切线方程第三导数在研究函数中的的应用1．教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．变化规律可用函数性质来描述．导数方法是研究函数性质的通法．本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值．教学重点：（1）利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．教学建议（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．（2）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的单调性（求单调区间）的方法与步骤．（3）结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念．（4）借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．（5）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤．（6）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤．（7）通过适量的综合性练习，让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性．第一，避免过量的形式化的运算练习。关于导数的计算，有两种方法，一是用导数定义计算函数的导数，二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。值得注意的是，由于没有介绍极限知识，因此第一种方法只是用导数方法计算四个函数（选修2-2是五个函数）的导数，目的在于让学生在感受用定义求导数的过程中进一步理解导数；第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法则，并没有进行公式推导，也不要求推导，只是会用它们进行简单的计算即可。避免过量、复杂的形式化练习，防止将导数和积分作为一些规则和步骤来学习，而忽略了它们的思想和价值。比如我们经常看到学生不动脑筋、不加思考，求导——令导数为0——解x——接下来不会了？第二，控制应用的广度与深度。例如，在用导数求函数极（最）值时，将函数控制在不超过三次多项式；关于生活中的问题，尽量选取背景比较简单，学生比较熟悉的物理问题，像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。第四：生活中的优化问题举例不超课本难度为原则引导自学不能缺失因材施教第五：定积分与微积分基本定理4（一）定积分1．教材分析本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．初步介绍定积分的概念和简单应用，初步体会定积分的思想，为进一步学习微积分打下基础。通过微积分的发展史，是学生体会微积分的思想文化价值。教学重点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念、定积分的几何意义．教学难点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示“以直代曲”“逼近”的思想方法．求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，在教学中，要让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．（2）概括共同特征，引出定积分概念．（3）借助几何直观，揭示定积分的几何意义．（4）直观感知定积分的基本性质．对于定积分，教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单，而且和导数一样，这种计算方法的目的在于让学生了解定积分的概念。利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式，由于导数公式有限而且没有讲原函数等知识，故对于定积分的计算要求很简单，基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数。（5）定积分的几何意义——图形面积，代数和、正负等(二)微积分基本定理1．教材分析微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．教学重点：直观了解微积分基本定理的含义，并用微积分基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示寻求计算定积分新方法的必要性．（2）让学生经历微积分基本定理的发现过程．教学中，可借助变速直线运动物体求位移问题，探究速度与位移（即导数与定积分）之间的联系，归纳出微积分基本定理．（3）通过例题教