黎曼-勒贝格引理的推广

黎曼－勒贝格引理的推广张春林数学与应用数学专业05级基地班指导老师尹小玲2006年8月摘要：本文主要是通过对黎曼-勒贝格引理的思考,从而得出更一般化的结论:若)(tg在],[ba绝对可积，)(tf满足：（1）)(tf是以T为周期的函数；（2）在一个周期内黎曼可积且TSdttf0)(，则有bag(t)dt)()(limbapTSdtptftg1、引言黎曼-勒贝格引理如下：若()gt在,ab绝对可积，则lim()sind0,lim()cosd0.bapbapgtpttgtptt下面对该引理作一些直观上的分析思考.此结论看起来似乎不容易想象其过程，实际上，认真观察一下，还是能发现其中的玄机的。首先，注意到函数sinx和cosx都是周期为T=2π的周期函数且Ttdt00sin，Ttdt00cos。考察g(x)sin(px),当t的变化量为p2时，sin(pt)经过了一个周期.而02p(p),且由g(t)在[a,b]绝对可积,可以想象若0t不是瑕点,有0|)cos()(sin)(2200000pttpttptptgdtpttg当然，这不是严格的数学证明，但至此，大家已经能较好地想象bapdtpttgsin)(lim的积分过程了。2、黎曼-勒贝格引理的推广由上，我们可以大胆地猜想以下结论：定理1若g(t)在[a,b]绝对可积，则对函数f(x),只要满足（1）f(x)为周期函数（记周期为T）（2）f(x)在一个周期内黎曼可积且积分为零，即Tdttf00)(，就有bapdtptftg0)(lim为证明定理，对满足定理条件的函数)(xf，先给出几个引理。引理１：)(xf在任意一个周期长度的区间的积分为０，即Ra有Taadttf0)(证明：因为TaTTTaaadttfdttfdttfdttf)()()()(00令Ttt有,)()()T()()(000TaTaaadttfdttftdTtfdttf从而TaaTdttfdttf00)()(。引理２：0G，对任意的R,和0p，有pGdtptf|)(|。证明：不妨设。令ptt有ppppdttfptdtfpdtptf)(1)(1)(。记)()(puTpkpp，其中)(pk为正整数，Tpu|)(|，则由引理1有)()()()()()()(1)(1)(1)(puTpkpTpkpTpkpppuTpkppdttfpdttfpdttfpdtptf)()()()(1puTpkpTpkpdttfp因为)(xf是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则)(xf有界，即0M使得Mxf|)(|，Rx故｜dtptf)(｜＝｜)()()()(1PuTpkpTpkpdttfp｜MTp1,令G＝MT引理2得证。下面给出定理的证明：因为)(xf是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则)(xf有界，即0M使得Mxf|)(|，Rx。先设()gt在,ab黎曼可积．给,ab以分法：01natttb记)(inf],[1xgmkkttxk，则bankttkkdtptftgdtptftg11|)()(||)()(||)()())((|1111nkttnkttkkkkkkdtptfmdtptfmtg||)(||||)(|1111nkttnkttkkkkkkdtptfmdtmtgMnkknkkkpGmtM11||其中k为()gt在1,kktt的振幅，1kkkttt．由()gt黎曼可积知，对任给的0，存在分法使得Mxnkkk2/1，对这个分法，nkkm1||是确定的数，只要nkkmGp1||2，就有badtptftg|)()(|nkknkkkpGmMx11||即bapdtptftg0)()(lim。再讨论()gt在,ab是绝对收敛的瑕积分的情形.不妨设瑕积分有唯一瑕点x=a,则0，0，使得Mdttgaa2/|)(|则2/|)(||)()(|aaaaMdttgdtptftg对上述0，由于()gt在,ab黎曼可积，由已证结论知bapdtptftg0)()(lim，故存在N，只要pN，有2/|)()(|badtptftg从而badtptftg22|)()(|，故bapdtptftg0)()(lim。定理证毕。对此结论进一步拓展，有下面的定理2。定理2若g(t)在[a,b]绝对可积，则对函数f(x),只要满足（1）f(x)为周期函数（记周期为T）（2）f(x)在一个周期内黎曼可积且积分TSdttf0)(则有bag(t)dt)()(limbapTSdtptftg事实上，只要令h(x)=f(x)TS,则h(x)满足定理1的条件，（因为)0)(])([)(000TTTSdttfdtTStfdtth从而0)()(lim])()()([limbapbapdtpthtgdtTStgptftg故babapbapbapdttgTSdttgTSdttgTSptftgdtptftg)()(lim)]()()([lim)()(lim。参考书目：[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版。