有限元分析——平面问题

江西五十铃发动机有限公司技术中心/331平面问题的有限元法主讲人：杨红林2014.09.16江西五十铃发动机有限公司技术中心/332目录一、平面问题的定义1、平面应力问题2、平面应变问题二、平面问题有限元法1、结构离散2、三角形单元分析3、整体分析总体刚度矩阵4、非节点载荷移置5、边界条件处理求解三、简单算例江西五十铃发动机有限公司技术中心/333一、平面问题的定义1、平面应力问题平面应力问题满足以下两个条件。(1)几何条件结构是一很薄的等厚度薄板；(2)载荷条件作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用。YXZOt结论：板面不受力，则有σZZ=+t/2=0τYZZ=+t/2=0τZXz=+t/2=0因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整个板内各点都有σZ=0τYZ=0τZX=0根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为图1平面应力问题江西五十铃发动机有限公司技术中心/334σ=[σXσYτXY]Tε=[εXεYγXY]Td=[μν]T它们仅为x、y的函数而与z无关。2、平面应变问题满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。(1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变；（2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。ZYXOt图2平面应变问题结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有ω=0μ=μ(x,y)ν=ν(x,y)江西五十铃发动机有限公司技术中心/335根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为D=1221000110112111E而平面应力问题的弹性矩阵为2100010112-μμμ-μED=江西五十铃发动机有限公司技术中心/336二、平面问题有限元法1、结构离散结构离散化过程：连续体结构有限单元的结合体代替原连续体平面问题用二维区域表示可用不同形状的单元，此处用三角形单元离散江西五十铃发动机有限公司技术中心/3372、三角形单元分析⑴单元位移模式形函数根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3yν=ν(x,y)=α4+α5x+α6yOYX节点1(x1,y1)μ1ν1节点2(x2,y2)μ2ν2节点3(x3,y3)μ3ν3图3三节点三角形单元将三个节点的位移代入，整理得α1=33322211121yxuyxuyxuAα2=33221111121yuyuyuAα3=33221111121uxuxuxA江西五十铃发动机有限公司技术中心/338α4=(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)A21α5=(b1v1+b2v2+b3v3)A21α6=(c1v1+c2v2+c3v3)A21其中A=33221111121yxyxyxɑ1=3322yxyxb1=-3211yyc1=3211xx(1,2,3)上式表示下标轮换，即12，23，31同时更换。江西五十铃发动机有限公司技术中心/339重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有eqyxNyxvyxu）（,),(),(其中形函数矩阵为N=其中332211000000NNNNNNNi=(ɑi+bix+ciy)，i=1、2、3。A21⑵单元的应变与应力单元应变ε=Bqe式中应变矩阵B为B=33332222111100000021bccbbccbbccbA节点位移列阵qeqe=[u1v1u2v2u3v3]T江西五十铃发动机有限公司技术中心/3310单元应力σ=Dε=DBqe⑶单元分析单元刚度矩阵根据虚位移原理，可得单元刚度方程Fe=Keqe其中单元刚度矩阵为Ke=ATDBtdxdyB对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为Ke=BTDBtA3、非节点载荷移置有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。⑴集中力的移置单元内任意一点作用集中力P=[PxPy]T江西五十铃发动机有限公司技术中心/3311123PPxPyR1XR1YR2XR2YR3XR3YYXO图4集中力作用的单元根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷Re=NTP此处的N为载荷作用点的形函数值。虚功原理如下：单元原载荷在虚位移上做的虚功=移置后节点载荷在相应虚位移上做的虚功。⑵体力的移置单元所受的均匀分布体力为PV=[XY]T，则由虚功原理得Re=tdxdyPNVT⑶面力的移置在单元的边上分布有单位面积上的面力PS=[]T，则由虚功原理得XYRe=tdsPNssT江西五十铃发动机有限公司技术中心/33124、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为T54321}{TTTTT其中：）、521(},{iiiTi45123①②③④yox图5四个单元的模型对每个单元写出相应的单元刚度方程，对于①号单元，有江西五十铃发动机有限公司技术中心/3313321)1(33)1(32)1(31)1(23)1(22)1(21)1(13)1(12)1(11)1(3)1(2)1(1KKKKKKKKKFFF为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即）1(54321)1(33)1(32)1(31)1(23)1(22)1(21)1(13)1(12)1(11)1(3)1(2)1(1000000000000000000KKKKKKKKKKFFF同理，对于单元②，有)2(54321)2(44)2(43)2(41)2(34)2(33)2(31)2(14)2(13)2(11)2(4)2(3)2(1000000000000000000KKKKKKKKKKFFF对于单元③，有江西五十铃发动机有限公司技术中心/3314)3(54321355353352335333332325323)3(22)3(5)3(3)3(2000000000000000000KKKKKKKKKKFFF）（）（）（）（）（）（）（）（对于单元④，有)4(54321)4(55)4(54)4(53)4(45)4(44)4(43)4(35)4(34)4(33)4(5)4(4)4(3000000000000000000KKKKKKKKKKFFF整体节点载荷列阵为)4(5)4(4)4(3)3(5)3(3)3(2)2(4)2(3)2(1)1(3)1(2)1(15432100000000FFFFFFFFFFFFFFFFFF江西五十铃发动机有限公司技术中心/3315整体刚度矩阵为(1)(2)(3)(4)11121314152122232425313233343541424344455152535455(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(3)(1)(3)(3)212222232325(1)3100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK(2)(1)(3)(1)(2)(3)(4)(2)(4)(3)(4)3132323333333334343535(2)(2)(4)(2)(4)(4)414343444445(3)(3)(4)(4)(3)(4)52535354555500KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK5、边界条件处理求解整体刚度矩阵是奇异的，必须在整体刚度方程中引进位移边界条件，消除整体结构的刚体位移，再求解整体刚度方程获得节点位移的位移解。下面介绍边界条件处理与计算结果整理。⑴对角元素置1法下面以一个只有四个方程的简单例子加以说明，方程如下：江西五十铃发动机有限公司技术中心/3316假定系统中节点位移u2=0，则引入节点的已知位移后，方程变为421221144424124222114121100010000FFFvuvuKKKKKKKKK4321221144434241343332312423222114131211FFFFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKK然后，用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显然，其解答仍为原方程的解答。⑵乘大数法大数M一般取108——1010。已知位移分量u2=c，把此方法用于上面的例子，则原方程变成43321221144434241343332312423222114131211FcMKFFvuvuKKKKKMKKKKKKKKKKK江西五十铃发动机有限公司技术中心/3317⑶计算结果整理一般情况，节点由多个单元所共有，而不同单元得到的应力不同，因此，应对节点上的应力进行处理，使其接近实际应力值。对于常应变三角形单元，应力的处理方法有：①绕节点平均法将围绕节点i的所有m个单元的应力进行算术平均，即miiim11②面积加权平均法考虑单元尺寸大小对节点应力的影响，进行面积加权平均，即miimiiiiAA11以上式中，Ai、σi分别为绕节点各单元的面积和应力。江西五十铃发动机有限公司技术中心/3318三、简单算例如图所示为一矩形薄平板，在右端中点受集中力F=1000N，板长为25mm，宽为50mm，板厚为t=5mm，材料常数为：弹性模量E=210GPa，泊松比μ=0.28。试计算各个节点的位移、各单元应力与应变。F=1000NF=1000N图6问题描述25mm50mm解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。⑴结构的离散化与编号对结构进行离散，单元编号与节点编号如图7。F1234①②图7有限元分析模型xy江西五十铃发动机有限公司技术中心/3319节点xy1002250325504050表1节点的坐标⑵单元分析与单元刚度矩阵求解24422111625500102510012111121mmyxyxyxA根据三节点三角形单元分析过程，可得各单元的相关参数如下：同理，22625500150251025121mmAb1=-50，c1=-25对①单元，有b2=50，c2=0b3=0，c3=25同理，对于②单元，有b1=0，c1=-25b2=50，c2=25b3=-50，c3=0江西五十铃发动机有限公司技术中心/33200255005025250002500005005012501000000213322113213211bcbcbc