麦克斯韦速率分布-PPT课件

§2.3麦克斯韦速率分布平衡态时，kTvmt23212kTmv322,vt是只决定于温度的物理量任意分子任意时刻的动能、速率各不相同，在很大范围内变动。可见：由于分子间的频繁碰撞，任一分子在任一瞬时所具有的速度是完全偶然的，但是由大量分子组成的整体（每个分子具有某种速度这个偶然事件的集合）在一定温度下，就表现为其速度或速率平方的平均值是确定的常数。这是一种统计规律性的反映。根据平均值的意义，这种统计规律可以由气体分子按速率的概率分布来描述，即著名的麦克斯韦分布率。麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。•他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。·1873年，他的《电磁学通论》问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。•在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。S§2.3.1分子射线束实验用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。最早是德国物理学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。后来不断改进，包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。这里仅介绍朗缪尔的实验1.分子束又称分子射线。平衡态A由于气体分子热运动，会有少部分气体分子从S缝中逸出，但因数量较少，并不影响A中气体分子所处的平衡态。逸出气体分子带有容器中气体分子运动性质的信息。测出逸出分子的速率分布，即可得到容器内气体分子随速率的分布情况。但二者不相等。1S2S3.实验原理2.朗缪尔实验装置由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个速率大小，而是某一个速率范围：v~v+∆v令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数，)(总分子数N∆N表示速率在v~v+∆v范围的分子数，即从速度选择器射出被探测器探得的分子数)~(的分子数vvvNLv)(总分子数N)~(的分子数vvvN则在总分子中分子速率介于v~v+∆v的分子的概率为：NNPvvv当∆v→0时，即得分子速率分布的概率密度函数：vNNvFdd)(相应地，分子速率介于v~v+dv的概率即为：vvFPvvvd)(ddvvNNddd在总分子中分子速率介于v~v+∆v的分子的概率为：NNPvvv分子速率介于v~v+dv的概率即为：vvFPvvvd)(ddvvNNddd当∆v→0时，即得分子速率分布的概率密度函数：vNNvFdd)()Δ/(ΔvNNSΔovvvΔv例如，取m/s10v则图中每一细长条面积均表示单位时间内射出的分子束中。分子速率介于相应速率区间的概率∆N/NNNSΔΔ当∆v→0时，得到一条光滑曲线，称分子束速率分布曲线vvF~)(当∆v→0时，得到一条光滑曲线，称分子束速率分布曲线vvF~)(vNNvFdd)(vvvvd其中在速率区间v~v+dv的细条面积，vvNNSdddd表示分子速率介于速率区间v~v+dv的概率vvvPdd4.说明：分子束速率分布与真空加热炉中的金属蒸汽分子速率分布不相等。vvF~)(vvNNvvfdddd)(§2.3.2麦克斯韦速率分布早在1859年，英国物理学家麦克斯韦由概率论、统计力学确定了气体按速率分布的统计规律，即麦克斯韦速率分布，有3种表述方法：⑴具有N个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的速率分布函数为：22)2exp()2(4)(23vkTmvkTmvf⑵N个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在v~v+dv间的平均分子数等于：vvkTmvkTmNvvNfNd)2exp()2(4d)(d2223⑶N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v~v+dv间的分子占总分子数N的百分比（概率）vvkTmvkTmvvfNNd)2exp()2(4d)(d2223麦克斯韦速率分布概率密度概率即分子处于速率v附近单位速率区间内的概率1.麦氏速率分布：但速率很大或很小的分子数较少2.麦氏速率分布函数曲线：⑴),0(v⑵曲线下的细窄条面积vvfd)(NNd表示了分子出现在v~v+dv区间段的概率⑶曲线下v1~v2区间的阴影面积为：212321d)2exp()2(4d)(22vvvvvvkTmvkTmvvf表示分子速率处于v1~v2区间的概率⑷对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：1d)(0vvf说明麦氏速率分布是规一化的二、几点说明：1.),0(v,实际上任何物体的运动速率都不会超出真空中的光速麦氏分布中取0~∞可以简化计算。2.只有当定量气体处于平衡态时，分子才有按速率的确定分布。因而麦氏分布适用于平衡态气体。分子间的碰撞是处于平衡态的气体分子具有确定速率分布的原因。3.称概率密度取极大值时的速率为最概然速率vp，也称最可几速率pv0d)(dpvvvfmkTvp2mMRT2意义：若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间，则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。22)2exp()2(4)(23vkTmvkTmvf3.称概率密度取极大值时的速率为最概然速率vp，也称最可几速率1pvmkTvp2mMRT2⑴Tvp温度升高时分布曲线的极大值向速率大的区域移动；分布曲线下的总面积=1d)(0vvf，是常量。同时，其高度必然降低2pv)(2112mmTT⑵mvp1同样温度下，重的分子运动得慢，因而重的分子中速率小的分子所占比重大分子质量增加时分布曲线的极大值向速率小的区域移动；同时，其高度必然升高⑶最可几速率仅决定于所考察气体的种类和气体分子热运动的剧烈程度)(2121TTmm4.麦克斯韦速率分布本身是统计平均的结果，因而理论上必须使之应用于大数粒子。但实际上可以用于处于平衡态的一切宏观容器中的理想气体。5.公式可以采用量纲来帮助记忆。6.混合气体的分子没有统一的速率分布。但组成混合气体的各组分分别遵守各自的麦氏分布率：12121111111d)2exp()2(4d)(d23vvkTvmkTmvvfNN22222222222d)2exp()2(4d)(d23vvkTvmkTmvvfNN注意混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：混合气达到平衡后，各组分的温度T必然相同。22)2exp()2(4)(23vkTmvkTmvf7.统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，只要系统的能量可写成：),,,(221312iNiiqqqUmPE分子的动量分量分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和广义坐标气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。三、三种速率0d)(vvvfv022d)2exp()2(423vvkTmvkTmv利用附录公式：202321d)exp(axaxxmkTv8mMRT8（二）方均根速率vrms：022d)(vvfvv0222d)2exp()2(423vvkTmvkTmvmkT3mrmsMRTmkTvv332（三）最概然速率vp：mkTvp2mMRT2（四）三种速率之比：224.1:128.1:1::rmspvvvopv2vv)(vfv22)2exp()2(4)(23vkTmvkTmvf（一）平均速率：v1.前面讨论理想气体和P时曾用到vrmsv085.1vvrms但应用该近似后，数学处理简单得多误差8.5%2.三种速率各有用处：vp讨论速率分布时用到vrms讨论分子平均平动动能时用到v讨论分子平均自由程、时用到注意3.若所给速率分布不是麦克斯韦速率分布，则不一定成立rmspvvv但由前面知，22uu总成立vvrms例1．速率分布函数的物理意义为：（Ａ）具有速率v的分子占总分子数的百分比．（Ｂ）速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比．（Ｃ）具有速率v的分子数．（Ｄ）速率分布在v附近的单位速率间隔中的分子数．解：（Ｂ）vf若用N表示一定量气体的总分子数，dN表示速率分布在v~v+dv区间的分子数，则f(v)可以写成：vNNvfdd)(例2：下列各式的物理意义分别为:(1)(2)(3)(4)速率在v附近dv间隔内的分子数占总分子数的比率。分布在速率v附近dv间隔内的分子数。分布在速率区间v1→v2内的分子数占总分子数的比率分布在速率v1→v2区间的分子数vvfd)(vvNfd)(21d)(vvvvf21d)(vvvvNf或：分子速率介于v~v+dv的概率vNNvfdd)(或：分子速率介于v~v+dv内的分子数或：分子速率介于v1→v2内的概率(5)21d)(vvvvvf分布在速率v1→v2区间内的分子的速率总合与总分子数之比NvvNvfvv21d)(NNvvv21d分布在速率v1→v2区间内的分子的速率总合例3．已知分子总数为N，它们的速率分布函数为f(v)，则速率分布在区间v1→v2内的分子的平均速率为（A）（C）（B）（D）解：（B）21dvvvvvf2121ddvvvvvvfvvvf21dvvvvNvfNvvvfvv21d2121ddvvvvvvfNvvNvf2121ddvvvvvvNfNv2121vvivviNv例4．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为f(v)、分子质量为m、最可几速率为vp，试说明下列各式的物理意义：表示________________；表示______________．分子平动动能的平均值Pvvvfd)1(02d21)2(vvfmv分布在速率区间的分子数在总分子数中占的比率，或：分子速率介于vp→∞内的概率PvvNNvfdd)(例5.下图为同一种气体处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：(1)T1T2(2)红：氧绿：氢f(v)vT1T22pv1pvmpMRTv2例6氦气的速率分布曲线如图所示.解：求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率m/s100010423RT3H1022)(2RTvpm/s1041.13mMRTv3)(2H2m/s1073.13mpMRTv2(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，)(vf)s/m(vo10002eH2H2He例7有N个粒子，其速率分布函数为000002020vvvvvavvvavf(v)(1)速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0和速率小于v0的粒子数解求032va12100avav(1)由归一化条件得1dd000200vvvvavvav0v)(vf02vvOa(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以323200vv因此，vv0的分子数为(2N/3)同理vv0的分子数为(N/3)avNΔNvv000vvNΔN32时的分子数与总分子数的比率为0v)(vf02vvOa例8根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值根据平均值的定义，速率倒数的平均值为01)d(1vvfvvvvvkTmkTπmπvd)2exp()2(4120223πkTmπkTπm482解：vπ14例9根