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6.1.1数列的定义【教学目标】1.理解数列的有关概念和通项公式的意义．2.了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力．3.使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣．【教学重点】数列的概念及其通项公式．【教学难点】数列通项公式的概念．【教学方法】这节课主要采用情景教学法．利用多媒体，在教师的引导下，根据学生的认知水平，设计了创设情境——引入概念，观察归纳——形成概念，讨论研究——深化概念，即时训练——巩固新知等环节．各步骤环环相扣，层层深入，引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．讲故事，感受数列2．提出问题，引入新课我国有用十二生肖纪年的习俗，每年都用一种动物来命名，12年轮回一次．2012年（农历乙丑年）是21世纪的第一个龙年，请列出21世纪所有龙年的年份．教师讲述古印度传说故事《棋盘上的麦粒》．学生倾听故事，认识数列．教师提出问题．学生分组讨论，找出问题的答案．创设情境，让学生认识数列，激发学生的好奇心，增强学生的学习兴趣．提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开讨论．新1．数列的定义把2012年以后的所有龙年的年份排成一列，得到2012，2024，2036，2048，……教师在学生探究的基础上，给出问题的答案．课新课①像①这样按一定次序排列的一列数，叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…，比如，2012是数列①的第1项（或首项），2048是数列①的第4项．举出一些数列的例子：大于3且小于11的自然数排成一列4，5，6，7，8，9，10；②正整数的倒数排成一列1，12，13，14，…；③2精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排成一列1，1.4，1.41，1.414，…；④－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成一列－1，1，－1，1，－1，…；⑤无穷多个2排成一列2，2，2，2，…；⑥这些都是数列．【新知识】象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为32，这一项的项数为3.【想一想】教师板书定义．教师出示一组数列的例子．师：数列4，5，6，7，8，9，10；与10，9，8，7，6，5，4是不同的数列．而集合｛4，5，6，7，8，9，10｝与｛10，9，8，7，6，5，4｝是相同的集合．强调数列的有序性，集合元素的无序性．教师利用上面举过的例子，讲解“数列的分类”．请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列：①②是有穷数列，③④⑤⑥是无穷数列．强调数列的“有序性”，使学生对数列定义有更深刻的认识，又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔．重视举例这一环节，调动学生的思维，发挥学生的主动性，加深对数列定义的理解．观察实例，培养学生分类能力．新课上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?【新知识】由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作123,,,,naaaa，．()nN简记作{na}．其中，下角码中的数为项数，1a表示第1项，2a表示第2项，…．当n由小至大依次取正整数值时，na依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项na叫做数列{na}的通项或一般项．*创设情境兴趣导入【观察】6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数．11a，22a，33a，…，可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用*()nannN表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如1111a，2020a．6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂．12a，222a，332a，…，可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用*2()nnanN表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如11112a，20202a．*动脑思考探索新知【新知识】同桌之间讨论，完成练习．教师巡视指导．观察数列．1，12，13，14，…．教师提出问题：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？学生分组讨论．对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项1121314↓↓↓↓序号1234这个数列的每一项与这一项的序号可用公式通过练习，让学生进一步掌握数列的定义．培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力．一个数列的第n项na，如果能够用关于项数n1的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.数列（1）的通项公式为nan，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为2nna，可以将数列（2）记为数列{2}n.*巩固知识典型例题例1根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项【知识巩固】例2判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项.an=1n来表示其对应关系．小结：判断某数是否为一数列的项，则将此数带入数列的通项公式中解出n的值，如果n是正整数，这个数是此数列的项，反之不是。*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？结论：按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做各项的项数．小结本节课主要学习了以下内容：1．数列的定义；2．数列的分类；3．数列的通项公式．学生阅读课本P3～P5上半部分，畅谈本节课的收获，教师引导梳理，总结本节课的知识点．培养学生自己归纳、总结的学习习惯．作业学生课后完成．巩固拓展．6.1.2数列的通项【教学目标】1.理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．2.了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项．3.培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力．【教学重点】数列的通项公式及其应用．【教学难点】根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式．【教学方法】本节课主要采用例题解决法．通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系．通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入⒈数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列．注意：（1）数列中的数是按一定次序排列的；（2）同一个数在数列中可以重复出现．2.数列的一般形式数列a1，a2，a3，…，an，…，可记作{an}．3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．教师引导学生复习．为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备．新课如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出数列中的各项．例1根据通项公式，写出下面数列{an}的前5项：（1）an=nn+1；学生解答例题．师：你能总结一下这类题目的解决方法吗？将例题直接当作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验新课（2）an=(－1)n·n.解（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为12，23，34，45，56；（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为－1，2，－3，4，－5．等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．解因为a1＝8，d＝5－8＝－3，学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程．师生共同订正答案．教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：项1357↓↓↓↓序号1234师：你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？学生探究找出规律：数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1．师：如何用含有n的式子来表示第n项an？教师对学生的回答给以点评，板书解题过程．学生根据（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题．教师巡视指导．教师说明数列的通探索与成功的快乐．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的新课所以这个数列的通项公式是an=8＋(n－1)×(－3)，即an＝－3n＋11．所以a20＝－3×20＋11＝－49.例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？解因为a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，an＝－401，所以－401＝－5＋(n－1)×(－4)．解得n＝100．即这个数列的第100项是－401．例3在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列解因为3，A，7成等差数列，所以A－3＝7－A，2A＝3＋7．解得A＝5．例4已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项．练习：（1）已知等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，求n．（2）已知等差数列{an}中，a4=10，a5=6，求a8和d．项公式可以不止一个．学生合作探究，完成练习．教师巡视指导．师生共同订正答案．学生分组探究．教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性．请学生在黑板上做题．教师巡视指导、订正．关系．最后教师引导学生结论．培养学生的合作探究意识和创新意识．学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性评价．培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯．通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法．在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力．培养学生积极实践、科学探究的学习态度．加强练习，体会递推公式的应用．小结三类题目：（1）由数列的通项公式写出数列某一项；（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项．学生阅读课本P5～P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．作业学生课后完成．巩固拓展．6.2.1等差数列的概念【教学目标】1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】等差数列的概念及其通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用．【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．教师出示引例，并提出问题．学生探究、解答．希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．新课从上例中，我们得到一个数列，每