实际问题与一元二次方程总结

实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．1、平均增长（降低）率的问题若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为（其中增长取+,降低取－）注意:(1)1与x的位置不要调换；(2)解这类问题列出的方程一般直接开平方解例1：某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？.解：设2001年预计经营总收入为x万元，每年经营总收入的年增长率为a.根据题意，得.2160)1(%406002a解方程，得2,11(2.11aa不合题意，舍去），∴.2.11a.18001.240%600)1%(40600ax答：2001年预计经营总收入为1800万元.例2、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3200元,生产1吨乙种药品的成本是3840元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3200)÷2=900(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3840)÷2=1080(元)bxan)1(乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元,依题意得解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为20%2、解决几何面积、体积问题（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么？（2）正方形的面积公式是什么？（3）长方形的面积公式又是什么？（4）梯形的面积公式是什么？（5）菱形的面积公式是什么？（6）平行四边形的面积公式是什么？例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？分析：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=6334，x1≈2.8cm，x2≈0.2250003200(1)x120.2,1.8(,)xx不合题意舍去九年级练数学习同步所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．例2、如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙(无限长),另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.求鸡场的长与宽各为多少米?解：（1）设鸡场的宽为xm，则长为)235(xm.依题意列方程为150)235(xx.整理，得01503522xx.解方程，得5.7,1021xx.所以当10x时，20235x.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.例3、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048=25天3、解决市场经济中利润问题（中考必考）利润=总销售额—总成本=单件售价*销售量—单件成本*销售量=（单件售价—单件成本）*销售量注意：这种类型的题目所列出来的方程一般可因式分解，得到的结果一般为整数，此外一定要根据题目给出的条件对得到的实根进行检验，切勿凭经验判断根的取舍.例1、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？.解：设商品的单价是)50(x元，则每个商品的利润是40)50(x元，销售量是)10500(x个.由题意列方程为.8000)10500(40)50(xx整理，得0300402xx.解方程，得30,1021xx.故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200个.答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个例2、新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？100件，25元[提示：(a-21)(350-10a)=400,解得a1=25,a2=31(超过20%，舍去)所以350-10a=100