如何复习线性代数陈建龙

如何复习线性代数陈建龙东南大学数学系一.线性代数的主要特征二.线性代数的主要线索三.线性代数的主要概念四.线性代数的主要定理目录五.线性代数的主要方法六.学习过程中常见的失误七.线性代数的主要题型●线性代数是理工科大学生必修的公共基础课,它与高等数学,概率统计构成了每个理工科大学生必备的数学基础知识.一.线性代数的主要特征考研中数一至数三中均包含线性代数.例如数一包括:高等数学:55%线性代数:22.5%概率统计:22.5%●线性代数是大学生进一步深造过关的门槛.●线性代数是一门概念多,抽象,逻辑性强的课程.●线性代数是一门应用广泛的课程,可操作性强(可用Matlab上机实验).●线性代数是研究线性关系的一门课程.线性关系:ba(加法,数乘)二.线性代数的主要线索●矩阵为主线.(1)线性方程组snsnsnnbxaxabxaxa1111111对应增广阵ssnsnbaabaa11111(2)行列式:矩阵的行列式,1111AaaaannnnnnnnaaaaA1111(3)n维向量n维列向量:1n矩阵n维行向量:n1矩阵(4)二次型1(,,)TnfxxxAxA为实对称矩阵.1(,,)TnfxxxAxxPy2211nnydydAnddAPTP1ndd1二次型语言:任意二次型经过可逆线性变换化成标准形.矩阵语言:任意实对称阵可合同于对角阵.●矩阵的三种标准形(1)等价标准形·A,B等价=:A可经初等变换变成B·A,B等价可逆阵,PQ使PAQB)()(BrAr·A等价于000rE:等价标准形.·标准分解:QEPAr000,,PQ可逆.(2)相似标准形·A,B相似=:存在可逆阵P,使BAPP1·A,B相似A,B特征多项式相等,特征值相同.反之不然,,0010A.0000B·A,B为实对称矩阵时,A,B相似.BEAEA,B特征值相同.·A相似于sJJ1,iiiJ11,若当块.·A相似于对角阵A有n个线性无关的特征向量A的每个c重特征值有c个线性无关的特征向量.)(AErnCii其中.)()(11mCmCAE(3)合同标准形·A,B合同=:存在可逆阵,P使.BAPPT·A,B实对称矩阵,则A,B合同A,B的正、负惯性指数相等.A,B的正惯性指数相同,).()(BrAr●三种关系的联系.(1)共性.矩阵的等价“≌”,矩阵的相似“～”,矩阵的合同“≈”都是一种“等价关系”,即具有“自反性”,“对称性”,“传递性”.(2)联系.·A,B相似A,B等价.反之不然.,0001A.0002B·A,B合同A,B等价.反之不然.,0001A.0001B·A,B实对称阵.A,B相似A,B合同.证:A～BBEAE特征值相同正负惯性指数相同A,B合同.反之不然.,0001A.0002B三.线性代数的主要概念.1.向量类线性相关(无关),极大无关组,向量组的秩,特征向量,正交向量组.2.矩阵类.●特殊矩阵.·行阶梯形,行最简形.·单位矩阵E,矩阵单位ijEijaA.11njijijmiEaA·初等矩阵EjirrjiE,Eikr)(kiEEjikrr)(,kjiE作一次行变换,相当于左乘初等矩阵.作一次列变换,相当于右乘初等矩阵.·可逆矩阵,伴随矩阵,EAB,1111*nnnnAAAAAEAAA*·正交矩阵,EAAT)(1TAA·正定矩阵0,x0TxAx●矩阵的数字特征·矩阵的秩=:非零子式的最高阶数.A的阶梯形(行最简形)的非零行数.·方阵的行列式.A.A·方阵的特征值..0AE·实对称阵的正(负)惯性指数.1(,,)TnfxxxAx的标准形中系数为正(负)的个数.3.常见概念的联系.设A为n阶矩阵,则以下等价:(1)A为可逆矩阵;(2)0A(非奇异,非退化);(3)nAr)((满秩);(4)A的行(列)向量组线性无关;(5)A的行(列)向量组为nR的基;(6)A为nR的两组基下的过渡矩阵;(7)A的解空间的维数为0;(8)A的列空间的维数为n;(9),1sPPAiP为初等矩阵;(10)A可经行变换变成E;(11)A与E等价;(12)0Ax只有零解;(13)Axb有唯一解,b;(14)*A为可逆阵;(15)A的特征值均非零;(16)AAT为正定阵.四.线性代数的主要定理.1.行列式行列式展开定理:njniijijijijAaAaA112.向量组(1)s,,1线性无关,s,,1,线性相关可由s,,1唯一线性表示.(2)s,,1可以由t,,1线性表示},,{1sr},,{1tr(3)s,,1可以由t,,1线性表示,tss,,1线性相关s,,1为n维向量,nss,,1线性相关(4)s,,1线性相关存在不全为零的数skk,,1使.011sskk存在j可由其余向量组线性表示.3矩阵(1)A可经过初等行变换化成行最简形A可经过初等变换化成000rE等价标准形(2)A可逆的等价刻画(3)A相似于对角阵A有n个线性无关特征向量每个c重特征值有c个线性无关特征向量(4)A是对称阵•特征值为实数•属于A的不同特征值的特征向量正交•存在正交矩阵Q,使nTAQQAQQ11•A相似于对角阵•A合同于对角阵(5)A为正定矩阵A的正惯性指数为nA的特征值大于零A与E合同A的顺序主子式大于零PPAT,P为可逆阵(6))}(),(min{)(BrArABr)()()(BrArBAr)()(),(BrArBArnBrArABBAtnns)()(0,,4线性方程组(1)Axb有解)|()(bArAr且此时,nAr)(无穷多解,有)(Arn个自由未知量nAr)(唯一解(2)Axb有解时,,11rnrnkk其中为Axb的特解,rn,,1为0Ax的基础解系.5二次型(1)二次型可经过可逆线性变换PYX化成标准形,2211nnydyd可进一步化成规范形,221221rppzzzz(配方法)p为正惯性指数,pr为负惯性指数.(2)二次型可经正交变换QYX化成标准形,2211nnyy其中n,,1为A的特征值.五.线性代数的主要方法初等变换法(1)求矩阵的秩,等价标准形A行行最简形列,000rE阶梯数即为矩阵的秩(2)求向量组的极大无关组),,(1sA行)(1s，，行最简形,则(i)iri,,1为s,,1的极大线性无关组iri,,1为s，，1的极大线性无关组(ii)iririijiririijkkkk1111(3)求矩阵的逆),(EA行),(1AE),(BA行),,(1BAE求AXB的解(4)求线性方程组Axb的解)|(bA行)~|~(bA行最简形不是非零首元对应的未知量为自由未知量,共)(Arn个,分别取rnkk,,1,求出通解(5)求行列式||A行列nnnddd111nndd11(6)求特征向量.即求()0EAx的解.六．学习过程中常见的失误1.未必可换①有意义，但无意义，②有意义，③均为阶矩阵，但BA,ABBABAABBAAB,BAAB2332,BABAAB,nBAAB2222,0,1111,1111BAABBA2.①②A2=AA=0或A=E③AB=0,A方阵|A|=0或B＝00,0,0ABBA可能.0,0,0,0010BAABBA但3.Ax=b中求错,原因直接在Ax=b中令自由未知量为4.求初等变换时,作参数可能为零rnrnkk11*rn,,1TT)1,0,,0(,,)0,,1(jirabra5.①矩阵与行列式记号混淆②等于“＝”与“”混淆.6.7.111)(,)(ABABABABTTTAkkAn七线性代数中主要题型（一）常规问题（数字型）1.正问题：求矩阵的秩；矩阵的逆，伴随阵；行列式；向量组的秩；极大无关组；基及维数；基变换与坐标变换；线性方程组的解，基础解系，解的结构;特征值（向量）；配方法，正交变换法化二次型为标准形。2.反问题（1）已知特征值（向量），求（2）已知基础解系，求齐次线性方程组A（二）参数型题1.求行列式①具有某些性质（如所有行（列）相加为常数）②每行（列）只有2-3个非零，按某行展开，得递推公式，猜测并证明。例如aaaaaa212122222.判断向量组的线性相关性，并求极大无关组。s,,1法一.行最简形由相关决定参数BAs行),,(1s,,1sAr)(法二.当为方阵时由相关决定参数As,,10A3.求解含参数的线性方程组①如有解，求解。行最简形。有解决定参数。Ax)~~()(AA行Ax)()(ArAr当为方阵时,先求决定参数②矩阵方程化简矩阵方程为下面三个方程之一·当可逆时,可求出·有解A0A0ACAXBCXBCAX,,BA,XCAX)()(CArAr唯一解③问能否由线性表示？令可由线性表示有解4.给定方阵(含参数)，问相似于对角阵吗？5.①已知实对称阵相似于对角阵∧.与∧中含参数,求参数.②已知实二次型在正交变换下的标准形.求,及标准形中的参数.,,,,1ss,,1),(1sAs,,1AxAAAATxAxA6.决定二次型参数，使二次型①的秩已给定②为正定型ff善总结,勤归纳,巧做题.线性代数的复习方法:熟记性质,不忘定义;掌握方法,不忘原理.谢谢大家!