理论力学-动能定理

12§13–1力的功§13–2动能§13–3动能定理§13–4功率·功率方程§13–5势力场·势能·机械能守恒定理§13–6动力学普遍定理及综合应用第十三章动能定理3与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。413-1力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。SFFSWcos力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（Ｊ）；222m1N1J1一．常力的功5二．变力的功dsFrdFZdzYdyXdxkdzjdyidxrdkZjYiXF,()ZdzYdyXdxrdFdsFWcos元功：6力在曲线路程中作功为F21MM2121cosMMMMdsFdsFW（自然形式表达式）21MMrdF（矢量式）21MMZdzYdyXdx（直角坐标表达式）7三．合力的功质点M受n个力作用合力为则合力的功nFFF,,,21iFRRrdFFFrdRWnMMMM)(212121rdFrdFrdFMMnMMMM21212121n21在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。iWW即8四．常见力的功1．重力的功21)(21zzzzmgmgdzW质点系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。mgZYX,0,0质点：重力在三轴上的投影：92．弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。。0l00)(rlrkFrrr/0212100)(mMMMrdrlrkrdFWdrrdrrrdrrdrrrdr)(21)(2120200)(2)(2121lrdkdrlrkWrrrr10200)(2)(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201,])()[(2lrlrlrlrk令)(22212kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。113．万有引力的功)11(120rrGmmW万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度时力所作的功。M点轨迹已知。FFbnFFFF12dFmrdFdsFWz)()(1221)(dFmWz作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。21mdW若m=常量,则)(12mW注意：功的符号的确定。如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直转轴130dtvrdC0dtvFrdFWC正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移NF(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功5．摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功2121'MMMMNdsfdsFWN=常量时,W=–f´NS,与质点的路径有关。RsmmW若m=常量则14五．质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。BArdFrdFW'BArdFrdF)(BArrdF)(BAdF15六．理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承)(0)(rdNrdNWN3．刚体沿固定面作纯滚动1．光滑固定面约束164．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。rdNrdNWN')(0rdNrdN17§13-2动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。221mvT瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。221iivmT二．质点系的动能一．质点的动能18221PIT（P为速度瞬心）2MdIICP222222121)(2121CCCIvMdMI22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiIrmvmT1．平动刚体2．定轴转动刚体3．平面运动刚体三．刚体的动能19§13-3动能定理1．质点的动能定理：)21()(2)(2mvdvvdmdtvvmdtd而Wmvd)21(2因此动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得21MMWmvmv21222121动能定理的积分形式两边点乘以，有dtvrdrdFdtvvmdtdFvmdtdFam)(20对质点系中的一质点：iMiiiWvmd)21(2即质点系动能定理的微分形式iWdT21MMWTT12质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式)(12)(;FFWTTWdTiiiiiiWvmdWvmd)21()21(22对整个质点系，有2．质点系的动能定理将上式沿路径积分，可得21[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)22解：取系统为研究对象)/()(RhQhmWF01T2222212121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)2(BARRv23)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4)(0)78(162上式求导得：)()(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(824动能定理的应用练习题1．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA杆)(212.12221)(kPWF])22.14.2(0[3000212.18.93022)J(4.38825,8.284.2303121202021T02T由)(12FWTTrad/s67.34.3888.280020262．行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象MWF)(01T2122122222121321grPvgPgQlT272122122222121321grPvgPgQlTrlrvlv111,222222221292)(4)(26lgPQrlgrPlgPgQlT根据动能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232将式对t求导数，得2)92(6lPQgM283．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。mgmgmgWF35.1)15.06.0(29.02)(01T2222219.023121mvmTv9.0解：取整个系统为研究对象29得代入到)(122265FWTTmvTm/s98.335.10652vmgmv30§13-4功率·功率方程一．功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。31二．功率方程：由的两边同除以dt得WdT无用有用输入即NNNNdtdTdtWdtdT分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即0dtdT0dtdT0dtdT无用有用输入NNN无用有用输入NNN无用有用输入NNN32机器稳定运行时，机械效率0/dtdT%100输入有用NN是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。33§13-5势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2．势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。34二．势能在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能，用V表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。dVZdzYdyXdx),,(zyxVV是坐标的单值连续函数。35等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。dzzVdyyVdxxVdV,,zVZyVYxVX质点系的势能：ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),,,,,,(111362.弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV)(0rrmGmV211.重力场质点：质点系：3.万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置37有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVM1→M2：三．有势力的功38对非保守系统，设非保守力的功为W12',则有121122)()(WVTVT四．机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统。设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)211212VVWTT—机械能守恒定律常量2211VTVT作用，则39[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。mglVT2,011初瞬时：40sin2,sin2cos12lylyly即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将代入上式，化简后得sin2lyygy22sin31sin6222222212412121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬时：41§13-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的