第1章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)

第1章矢量与张量2020年6月11日张量的两种表达形式分量形式实体形式代数形式计算式几何形式定义式概念的内涵和外延（定量）怎样计算？主要内容矢量及其代数运算斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量曲线坐标系及坐标转换关系并矢与并矢式张量的基本概念张量的代数运算张量的矢积矢量及其代数运算矢量和矢量的模、、、、矢量的加法:平行四边形法则uuvvuvuvwuvwuvvu()()uvwuvw()uvuv()0uu()uuuabab()uvuvaaa()()uuabab平行四边形法则矢量及其代数运算直线坐标系与矢径笛卡尔坐标系：直角直线费马坐标系：斜角直线xyzijkrur：矢径矢径确定了基矢量：、、矢量可表示为：rijkxyzrijkuxyzuijkuuu笛卡尔坐标系矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的内积定义式（实体形式，几何表达）：(可交换性)计算式（分量形式，代数表达）：cosucosvuv物理意义：计算功(功率)可交换性：运算次序的无关性对称性不变性cosuvuvuvvuuvuvxyzuijkuuuxyzvijkvvvxxyyzzuvuvuvuv(许瓦兹不等式)矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的外积定义式（实体形式，几何表达）：(反交换性)计算式（分量形式，代数表达）：计算时换行。物理意义：计算面积xyzxyzwuvijkuuuvvvvuwuvsinuvuvuvvuvuwuv矢量及其代数运算矢量的乘法三个矢量、、之间的运算如何计算？观察右图，可知正交于、构成的平面，而正交于，因此，一定在、构成的平面()()()()uvwvwuwvuvwuvw()uvwuvw()uvwwvuvwvwvw()uvwvw数形结合()uvwvw矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的混合积xyzxxxxyzyyzxyzzzzuvwuvwuvwuuuuvwvvvuv2xyzxxxxyzyyzxyzzzzuuuvuwuvwvuvvvwwuwvwwuuuuvwvvvuvuvwvwuwuvuwvvuwwvu群论的轮换次序不变性顺时针轮换wuv斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)费马坐标系rP1g1x2x2g12(,)xxr2x1x12(,)xxij笛卡尔坐标系斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系和矢径矢径确定了基矢量：、其中、不一定是单位矢量。矢量可表示为：1212rggxxrP121221PggggPPPP费马坐标系rP1g1x2x2g12(,)xx2g1g2g1g斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量PgP费马坐标系rP1g1x2x2g12(,)xxg：协变基矢量：哑指标Einstein求和约定基于简化的思想，引入逆变基矢量g01gg存在对偶关系：斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量PggPPPgP称为矢量P的逆变分量22gPPgP称为矢量P的协变分量22gP2xP11gP11gP1x2222gP2xP22gP11gP1x11gP2222斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量123123rggggiixxxx三维空间中的斜角直线坐标系rO1x2x22gxrgiixgi3x11gx33gxdddiiiixxxrrg由可定义协变基矢量为123123gggggggg是正实数（右手系）斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量ggjjiigj定义逆变基矢量，满足对偶条件：(,1,2,3)ij=问题：已知，如何求？gigj※根据几何图形直接确定1g2g3g1g由对偶条件可知，与、均正交，因此正交于与所确定的平面；其模的大小等于1g2g3g2g3g111cosgg22斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知，如何求？gigj※由协变基矢量求逆变基矢量112311()gggggg由于正交于与，则必定平行于，可设，利用下式：1g2g3g23gg123ggg1g可计算出：1231()gggg3121()gggg2311()gggg1g2g3g1g22转化为矩阵乘法是什么？斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知，如何求？gigj※由协变基矢量求逆变基矢量将在标架下分解：1g123,,ggg11112131123gggggjjgggggk进而可得到统一代数式：ggiijjg将上式等号左右两端均点乘，得到：ggggiiijijkkjkjkgggijg1g1g2g3g111gg133gg122gg张量分析的起点斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可证明：称为度量张量的协变分量称为度量张量的逆变分量因此，得到：ggijijgggijijgijjiggijjiggijgijg协变基矢量在逆变基矢量下分解逆变基矢量在协变基矢量下分解ggiijj=gggjiijg斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可知与均为对称矩阵，协变分量的行列式为：2123det()gggijggijgijg写成矩阵形式，得到：1ijijgg由对偶关系可知逆变分量的行列式为：2123det()1gggijgg1231231=det()1ggggggggjigg因此可得到：Euclid几何的1、勾股定理两大基本定理：2、三角形内角和定理二次微分形式Euclid几何的基础斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量度量的重要性——刻画两点间距离ddsr2dddddddijijijijsxxgxxrrgg1x2x3xrdrrdr笛卡尔坐标系中，有2222ddddsxyz斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系PggijijPPPgggiikikikkPPPgPgggkkjjkjkjPPPg矢量可在协变基矢量和逆变基矢量下进行分解：P的协变分量可利用度量张量的逆变分量升指标P的逆变分量可利用度量张量的协变分量降指标P斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系ggiijjgg基矢量的协（逆）变分量可利用度量张量的逆（协）变分量升（降）指标：利用指标升降关系表示斜角直线坐标系中两个矢量的点积：uviiijijiiijijuvuvuvguvgggjiijg2uiijijiijijuuguuguucos()iijkjkuvuuvvuvuvuvxyzijkrrijkxyz曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然基矢量概念：直角坐标的启示dddddddxyzxyzxyzrijkrrr立即得到：xriyrjzrk123,x,xxxirrr曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然基矢量概念：向一般曲线坐标系的推广dddiiiixxxrrg立即得到：ixirg重要启示：决定空间点的位置和矢径！曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※平面极坐标系11222112222121()()cosarctansinxxxxxxxxxxxx12xxrij矢径：平面极坐标系xyrijgrg2211121222cossin1sincosxxxxxxrgijggijg12(,)(,)xyxx12(,)(,)rxxixirg''iiix=xx曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※三维球坐标系11232123312sincossincossinsinsinsincoscosxrxxxxrxxxxrxx2x1x3xrgrgg三维球坐标系123(,,)(,,)xyzxxx123(,,)(,,)rxxx123iixxxxrijkg''iiix=xx曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸※三维球坐标系232321112323212212331233sincossinsincos1(coscoscossinsin)sin(sincos)sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxgijkggijkggijg☆正交曲线坐标系与Lamé常数定义正交坐标系中Lamé常数Ai(i=1,2,3):111Ag222Ag333()AgAi的物理意义是坐标xi有单位增量时弧长的增量，有2122232123(d)(d)(d)(d)()sAxAxAx注:()式只对正交曲线坐标系成立，可作为求正交系中度量张量的一种方法。ixirg曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：''iiix=xx'iiix=xx新、老基矢量之间的变换（注：重中之重）：'xxiirrr两边同取增量：'ddxxiirr→''ddxxxxiiiirr→''ddiiixxigg曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：''iiix=xx'iiix=xx''ddiiixxigg→''''dddiiiiiiixx=xxx''''ddiiiiixxigg''iiiigg→再由：''ddiiixxigg'''dddiiiiiiixx=xxx''ddiiiiiixxgg→→''iiiigg曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：''iiix=xx'iiix=xx''iiiigg''iiiigg请自己证明：iijjgg''iijjgg曲线坐标系的坐标变换jjiixxiijjxx二者之间的关系：''iiiigg''iiiigg→''''iijiiijiiggg''jijijijigg→→''ijjiii曲线坐标系的坐标变换对比两大关系：''iiiigg''iiiigg''ijjiiijiijgggiijjgggjkkijigg指标升降关系：坐标变换关系：曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※基矢量的坐标变换：基矢量本质上是曲线的切线矢量。由所有切线构成的切空间很重要！——陈省身非线性变换，一定存在Jacobi矩阵或逆矩阵jiijgg(Jacobi矩阵)(Jacobi逆矩阵)jjiixxiijjxxiijjgg——协变转换系数——逆变转换系数曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※矢量分量的坐标变换：jjiiggjiijjijiijjiijjijijivvvvvvandvv