现代数学与中学数学论文

第1页（共8页）现代数学与中学数学论文──概率与统计在生活中的应用Xx学院xx（师范）专业2011级xxx指导教师xx摘要：文中论述了怎样应用概率统计思想处理生活中的问题，并着重从怎样应用概率统计思想进行交友活动，特别是在选择交友、了解交友、稳定朋友关系中；应用概率统计思想处理保险业务；应用概率统计思想看待抽奖；应用概率统计思想看待赌博．这４个方面来了解概率统计思想在生活中的应用的广泛性和重要性．关键词：概率统计思想；中心极限定理；保险业务；抽奖；赌博0引言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式.目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域.本文就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.1应用概率统计思想进行交友活动1.1应用概率统计方法与思想选择交友生活中的交友是一项复杂的系统工程，很多因素直接或间接制约着其最终结果的准确性、稳定性和持久性．按照钱学森先生的系统理论，有必要，第2页（共8页）并且是十分有必要用科学的、系统的和理性的手段研究其中的种种现象、问题，概括出一系列命题或者定律、定理，这对于提高交友成功率、提高全民素质都有着十分重要的意义．现在，我们试图将概率论与数理统计的理论引入到交友之中，以帮助生活中交友的人们，理性地选择你周围的朋友，并通过观察、判断、分析，最终选择适合自己的朋友.建立好一个指标体系，对于寻找合适的目标是十分重要的.将自己对朋友在乎的各种因素罗列出来,其中，一般包括身体外观指标、自身素质指标、家庭辅助因素指标.外观指标就是指长相、身高、发型、穿衣风格等，这对于那些以貌取人的朋友格外重要.不过由于这种指标很靠不住，用这种指标进行决策的大多获得了很不好的结果，现在大家，尤其是有点理智的，一般都更注重第二点，也就是那些学历、能力、修养等指标.这些指标一般不好发现或者很多就是隐性的，更需要当事者有“千军万马之中夺上将首级”的魄力与洞察力．对于第三点指标，很多是只能作为参考，比如家庭传染病史这样的指标就非常有必要重点关注，它直接影响到自身生活的幸福.确立指标之后就可以寻找目标、收集数据了．尽可能地认识更多的朋友，途径很多，像老乡会、同学会、俱乐部、车友会、拼客什么的只要你想得出来.大家知道，样本越大，将来得出的结论就越有参考价值.下面对收集的数据进行整理，梳理，对比各个个体的条件情况，最终作出决策.对比的方法一般用平均值法就可以了，不管是算术平均、几何平均、调和平均，什么平均都行！一般来讲，如果某一个体的各个指标都在平均值以上，那么就可以重点考虑了，不过还是要选出一个最合适的，那标准只能自己凭感觉而定.还有一点注意，就是不能一厢情愿，你确定对方作为你的朋友，但是不见得对方也想和你交朋友啊！上述过程贯穿了概率论与数理统计的思想：设计指标体系，收集整理个体资料，分析整理结果，最后作出决策.1.2应用概率统计方法思想了解交友认识、熟悉、成为朋友.初期，双方都对朋友有着无限的容忍力，极度放大对方的优点、忽视对方的缺点，然而，时间总会将两个人拉回现实，矛盾也难免产生.于是怎么样衡量朋友在一起的质量就是一个重要的问题.这时我们可以引入“内心快乐感受,即要真正找到快乐，就必须学会控制你第3页（共8页）的思想．快乐不在乎外界的情况，而主要是内心的感受变量.”[1]用这个变量出现的频率来衡量朋友之间相处的快乐程度．显然，这个频率越高，就越快乐.对于这个频率的获得，需要日常的记录.记录的标准可以用到模糊理论的原理，那样确立的标准无疑是精确的，但也不是一般人就能做得来的.于是采用非此即彼的方法是一个既方便又有较高近似程度的方法.根据以上假设与分析，容易知道，内心快乐感受天数变量X服从二项分布，即X～b(n,p)其中的p就是根据记录统计出的快乐频率，就是“快乐天数/总天数”，根据伯努利大数定理，记录天数越多，这个频率就越接近真实概率.根据“棣莫佛-拉普拉斯”中心极限定理[2],n越大，二项分布就越接近正态分布，即X～N(up,np(1-p).应用这个定理的好处就是容易计算，有现成的表可查.不过也要注意应用条件：1.描述的随机现象只能有两种表现，非此即彼，也就是说不能有模糊概率出现.2.n应该足够大，一般应该要大于30.3.p不能太接近0或者1这两个值.4.一般要求up、np(1-p)都要大于5.实例：如一对朋友间采用民主集中制讨论后决定，双方的快乐频率是80%.那么，我们根据概率知识可以知道，100天内有70-90天是快乐的频率是服从均值np=80,方差np(1-p)=16的正态分布.可以记为N(80,16)标准化，可以得到p{70＜X＜90}＝0.987，也就是说，基本上可以保证100天内两个人有70-90天的快乐，这就可以了.同时利用同样的方法可以算出，希望100天中有80天以上是快乐的概率是0.5，可以预测，要求的时间比80多，概率会更加小.也就是说再好的朋友,也不要指望相处的每天都快乐，那是小概率事件，乃至是不可能事件.磕磕碰碰实在正常不过，因此双方应该用一种理智的心态看待双方关系，不要因为一次不愉快就否定一切，那是不符合规律的，必然会受到规律的惩罚.1.3应用概率统计方法思想维持稳定的朋友关系第4页（共8页）这比选择朋友更加复杂，也更需要谨慎的求解.这里的方法是“假设检验，即通过样本确定接受还是拒绝统计假设的统计推断方法”[3].就是你希望和什么样的人交朋友，那么就提出这个作为检验条件，如果满足，就认为这个假设是真的；相反，也可以选择你不希望和什么样的人相处作为检验条件，如果实践表明条件成立，那就不能和他相处.当然，我们知道，既然是假设检验，就存在两种错误，一种是弃真错误，一种是取伪错误.比如弃真错误，就是本来那朋友是很适合自己的，也是很值得自己一生去交往的，但是由于误会或者一点微不足道的小事，造成了他不是我的最佳选择的认识，最终选择放弃，等到回过味来，只能高唱“有多少爱可以重来了”，这总是一种遗憾；另一种就是取伪，因为一时冲动，或者对方的甜言蜜语，被假象所蒙蔽，做出了错误的判断，这样可能会使自己的名誉甚至是财产受损,这样同样会遗憾终生.总之只要犯错就不好，大家都清楚.在应用中，我们还可以通过计算“相关系数”来看两者的差异性或者说是和谐性.一般来讲，相关系数越大越好，但是肯定不能是大于1的，否则肯定有一方在隐瞒什么，要不就是算错了；也不会等于0，否则就该怀疑是不是有一方不是人类了.还有就是“聚类分析,即依据研究对象(样品或指标)的特征，对其进行分类的方法，减少研究对象的数目.各类事物缺乏可靠的历史资料，无法确定共有多少类别，目的是将性质相近事物归入一类.各指标之间具有一定的相关关系。聚类分析是一组将研究对象分为相对同质的群组的统计分析技术.聚类分析也叫分类分析或数值分类变量类型：定类变量、定量（离散和连续）变量．”[4]有兴趣的可以试一试,以便对二者情况有更加深刻的认识与了解，对做出下一步决策有很强的参考价值.注意，统计的知识没有内蕴“因果相关”.因此，根据统计数据做决策必须小心再小心，谨慎再谨慎.否则，错误的结论是很容易得出的.举个例子吧，“希腊的科学工作者研究发现，喝咖啡多的人更容易患心脏病.看看他们怎么得出结论的：抽样一大群人，检查他们的心脏病致病因子，然后让被调查者写下自己喝咖啡的量．”[5]结果就是上面说的.其实我们不能得出这样的结论.因为咖啡不一定是心脏病的直接关联致因.喝咖啡多的人具有什么特点？加班熬夜、工作量大等等，这些因素难道不是更会导致心脏病吗？数据之间呈现相关关系并不代表他们本质上就第5页（共8页）是有内在联系.再举例子，两个人经过长时间观察发现，矛盾总发生在两个人在一起的时候，因此，是在一起导致的矛盾，所以不在一起将不会发生矛盾.这是不是很荒谬！当然，选择某个人是不是作为长期相处的朋友，我们还可以用贝叶斯理论[3]进行博弈.甲乙两人相处，乙不知甲是何种类型，但乙知道如果甲是A类型，当乙采取行动集C＝(c)时，甲反应为集合E＝(e)的概率为20%，如果甲是B类型，则乙采取行动集C时，他反应为集合E＝(e)的概率为100%，这些行动集是现实生活中确实存在的，各有各的，在此我不能详尽.这些概率也是一种主观判断，不过更是一种生活经验，实在可行.现在博弈开始，乙根据现有的一切信息认为这个甲是A类的概率是70%，因此乙估计自己采取行动集C时，甲采取E的概率为：0.7*0.2＋0.3*1＝0.44,0.44是乙给定甲所属类型的先验概率下，甲可能采取E的概率.当甲确实进行E时，使用贝叶斯法则，根据甲采取E的这一行为，乙认为甲是A的概率变为：0.7（甲是A型的先验概率）*0.2（A型甲采取E的概率）/0.44＝0.32.根据这一新的概率，乙估计自己采取C时甲采取E的概率为0.32*0.2+0.68*1＝0.744如果乙再一次采取C，甲又采取了E，则乙认为甲是A型的概率变为：0.32*0.2/0.744=0.086.这样甲一次又一次的采取E，乙对甲的判断逐步发生变化，越来越倾向于甲为B型，一个人就这样通过自己的行为把自己出卖了.2应用概率统计思想处理保险业务通过上例题我们就可以明白为什么会有那么多的保险公司成立，因为保险公司亏本的可能性几乎为零，并且我们还可以用类似的方法算出保险公司所推出的很多保险种类的利润概率.我们在生活中，选择保险种类的时候可以根据这些自己的算法，购买适合自己的保险.保险行业是一个对保民有利，使保险公司赚钱的行业.保民只需交纳少量的保险费，则在保险期间内若遇到意外伤害，即得保险公司较大数额的理赔补偿，所以，很多人都愿意参加保险，而保险公司也愿意经营这个行业.为什么?理论依据就是统计推断原理：小概率事件在少量次试验中是不会发生的，但在大量次试验中是必然发第6页（共8页）生的.于是，人们在“以防万一”的心理驱驶下，都愿意用少量的投资去买个“平安”；保险公司则需调查被保险人群发生意外伤害死亡和重大疾病的概率，制定投保金额的标准，使保险公司永远不会亏本.例如，某保险公司估计，在其管理区里有5000人参加一年期的平安保险，经调查，这一地区遇到意外伤害死亡或遇到重大疾病的概率为0．002，如果遇到此类情况时，保险公司则需理赔10000元的补偿费.为了使保险公司一年盈利5万元的概率达98﹪，则需保民交纳多少元的保险费；为了使保险公司一年盈利10万元的概率达到98％，则需保民交纳多少元的保险费?学过概率统计的人对这些计算都不是难事.再例，假设一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率是0.006，死亡时其家属可向保险公司领取1000元，问：（1）保险公司亏本的概率有多大？（2）保险公司一年利润不少于4000元的概率有多大?解设为10000个人中一年内死亡人数，则由题意，~,Bnp，其中410n，p=0.006，q=1-p则保险公司一年收入为121000010000（1）保险公式亏本，则1210000-100000，从而120由中心极限定理[6]，得120P(120)=()npnpPnpqnpq12010000.0061()100000.0060.994601()1(7.76931)059.64则可知保险公司不会亏本.(2)若保险公司一年利润不少于40000元，则434121010410从而80第7页（共8页）80(80)()npnpPPnpqnpq80100000.006()100000.0060.994(2.59)0.995所以保险公司一年利润不少于40000元的概率为0.9953应用概率统计思想看待抽