二轮专题复习圆锥曲线教学案

专题复习：圆锥曲线【知识梳理】1、椭圆、双曲线、抛物线的概念。2、标准方程所表示曲线的几何性质。3、直线与圆锥曲线的位置关系。4、体会设而不求思想及坐标法解题。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现。2．直线与圆锥曲线的位置关系，常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．轨迹问题、对称问题、参变量的范围问题、定点、定值及最值问题也是本章的几个热点问题，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。【自测回扣】1、已知椭圆x24＋y23＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积为(A)3(2＋3)(B)3(2－3)(C)2＋3(D)2－3答案：(B)2、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）3答案：(B)3、椭圆22221(0)xyabab＞＞的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为____________.答案：234、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2上一点M，点M的横坐标是2，则M到抛物线焦点的距离是________．答案：658.【典型例题】例1、已知椭圆:C22221(0)xyabab的一个焦点是(1,0)F，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于,MN两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点0(0,)Py，求0y的取值范围.（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得1c.因为椭圆C的离心率为12，所以22ac，2223bac.故椭圆C的方程为22143xy.（Ⅱ）解：当MNx轴时，显然00y.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为(1)(0)ykxk.由22(1),3412,ykxxy消去y整理得0)3(48)43(2222kxkxk.设1122(,),(,)MxyNxy，线段MN的中点为33(,)Qxy，则2122834kxxk.所以212324234xxkxk，3323(1)34kykxk.线段MN的垂直平分线方程为)434(1433222kkxkkky.在上述方程中令0x，得kkkky4314320.当0k时，3443kk；当0k时，3443kk.所以03012y，或03012y.综上，0y的取值范围是33[,]1212.思想方法规律总结：垂直平分问题要充分抓住垂直和平分两个条件：垂直用好斜率为负倒数的条件，平分用好中点在对称轴上的条件；求0y的范围，要把0y表示为k的函数.变式训练1、在周长为定值的ABC中，已知||23AB，动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时，Ccos有最小值12.(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程.(2)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线G于M，N两点．将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值．解：(1)设||||2CACBa(3a)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2||23cAB.因为22222||||(23)(||||)2||||1226cos12||||2||||||||CACBCACBCACBaCCACBCACBCACB又22)22(||||aaCBCA，所以26cos1Ca，由题意得22611,42aa.所以C点轨迹G的方程为221(0)4xyy(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点M，N的坐标分别为1，32，1，－32，此时|MN|＝3.当m＝－1时，同理可知|MN|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)，由y＝kx－m，x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2，又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1，所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k264k4m21＋4k22－44k2m2－41＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|MN|＝3.所以|MN|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|MN|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|MN|＝2.所以|MN|的最大值为2.例2、已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.xyC4:2，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（I）证明:OMOP为定值;（II）若△POM的面积为25，求向量OM与OP的夹角；(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点PyyPyyM),,4(),,4(222121、M、A三点共线，,4414,222121211yyyyyykkDMAM即4,142121211yyyyyy即.544212221yyyyOPOM(II)设∠POM=α，则.5cos||||OPOM.5sin||||,25OPOMSROM由此可得tan=1,又.45,45),,0(的夹角为与故向量OPOM(Ⅲ)设点MyyQ),,4(323、B、Q三点共线，,QMBQkk313222331,1444yyyyyy即3231311,4yyyy23133(1)()4,yyyy即131340yyyy,0444,4,432322121yyyyyyyy即即.(*)04)(43232yyyy,44432232232yyyyyykPQ)4(422322yxyyyyPQ的方程是直线即.4)(,4))((323222322xyyyyyyxyyyy即由（*）式，,4)(43232yyyy代入上式，得).1(4))(4(32xyyy由此可知直线PQ过定点)4,1(E.思想方法规律总结：定值问题注意联系韦达定理；定点问题注意要把直线表示成y-0y=k(x-0x).变式训练2、已知F1、F2是椭圆14222yx的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足21PFPF=1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（1）求P点坐标;（2）求证：直线AB的斜率为定值;（3）求△PAB面积的最大值.解：（1）由题可得F1(0,2),F2(0,－2),设P(x0,y0)(x00,y00)则)2,(),2,(001001yxPFyxPF,1)2(202021yxPFPF),(00yxP在曲线上，则21)2(24:24,1420202020202020yyyyxyx得从而则点P的坐标为（1，2）（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k0)则BP的直线方程为：y－2=k(x－1)222222222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2kkkkkkxkkkxyxBkxkkxkyxxkyBBBB则设得由222222kkkxA同理可得2228)1()1(,224kkxkxkyykkxxBABABA则AB的斜率2BABAABxxyyk为定值（3）设AB的直线方程：mxy204224:14222222mmxxyxmxy得22220)4(16)22(22mmm得由3||mdABP的距离为到3)214(||2mAB2)28(81)8(813||3)214(21||21222222mmmmmmdABSPAB则当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号∴三角形PAB面积的最大值为2【总结提高】高考命题要求掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，直线与圆锥曲线的位置关系，注意数学思想与方法的应用，注重对数学能力的培养，加强探究性、综合性、应用性,体会设而不求思想及坐标法解题。【专题练习】1、已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()(A)6x－5y－28＝0(B)6x＋5y－28＝0(C)5x＋6y－28＝0(D)5x－6y－28＝0答案：(A)2、已知抛物线y2＝2px(p0)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()(A)5＋12(B)3＋1(C)2＋1(D)22＋12答案：(C)3、已知椭圆2214xy的焦点为1F，2F，在长轴12AA上任取一点M，过M作垂直于12AA的直线交椭圆于点P，则使得120PFPF的点M的概率为(A)23(B)63(C)263(D)12答案：(B)4、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()(A)(4，＋∞)(B)(－∞，4](C)(10，＋∞)(D)(－∞，10]答案：(D)5、若方程x24－k＋y26＋k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．答案：(－6，－1)6、设双曲线x2－y23＝1的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x＝4上的动点，若∠F1PF2＝θ，则θ的最大值为________．答案：30°7、已知直线l与抛物线yx42相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.（I）若动点M满足0||2AMBMAB，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.解：（I）由22414xyyx得，.21xy∴直线l的斜率为1|2xy，故l的方程为1xy，∴点A坐标为（1，0）设),(yxM则),1(),,2(),0,1(yxAMyxBMAB，由0||2AMBMAB得.0)1(20)2(22yxyx整理，得.1222yx∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①将①代入1222yx，整理，得0)28(8)12(2222kxkxk，由△0得0k221.设E(x1，y1)，F(x2，y2)则.1228,12822212221kkxxkkxx②令||||,BFBESSOBFOBE则，由此可得.10,22,21