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147第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln.SkΩ=解:对于理想费米系统，与分布{}la相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!lllllΩaaωω=−∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()lnlnlnln.lllllllllΩaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()lnlnlnlnSkΞΞΞkΞNUαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++()ln,lllkΞaαβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()lnln1.lllΞeαβεω−−=+∑（4）由费米分布e1lllaαβεω+=+易得1481ellllaαβεωω−−+=−（5）和ln.llllaaωαβε−+=（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为lnln.lllllΞaωωω=−∑（7）将式（6）和式（7）代入式（3），有lnlnlllllllllaSkaaaωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑()()lnlnln.lllllllllkaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）比较式（8）和式（2），知ln.SkΩ=（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln1ln1,ln1ln1,ssssssssssSkffffSkffff=−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中sf为量子态s上的平均粒子数.s∑表示对粒子的所有量子态求和.同时证明，当1sf时，有()B.E.F.D.M.B.ln.ssssSSSkfff≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.lnlnlnlnlnllllllllllllllllllSkaaaaaakaaωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑1491ln1ln,llllllllllaaaakωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑（1）式中l∑表示对粒子各能级求和.以lslafω=表示在能量为lε的量子态s上的平均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到~,llsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−+−−⎡⎤⎣⎦∑（2）由于1sf≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−−++⎡⎤⎣⎦∑（3）对于玻色系统0sf≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1sf的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln11sssssfffff±≈±≈−∓∓∓∓所以，在1sf的情形下，有()B.E.F.D.ln.ssssSSkfff≈≈−−∑（4）注意到ssfN=∑，上式也可表示为B.E.F.D.ln.sssSSkffNk≈≈−+∑（5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2NhUNkTgVmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利150用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3UpV=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2hpnkTngmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（3）式中NnV=是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为32272311,22π2VVUCThNknmkT∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦∓（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VCSdTSVT=+∫（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln.22π2hSNkTNknSVgmkT⎛⎞=±+⎜⎟⎝⎠（6）式中的函数()0SV可通过下述条件确定：在322312πNhnVmkTλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定()0SV，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln.22π2mkThSNknghgmkT⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数lnΞ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱151简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度cT，气体的化学势将趋于-0.在cTT时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度cT由条件()0de1ckTDnεεε+∞=−∫（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πddLDmhεεε=代入式（1），得2202πd.e1ckTLmnhεε+∞=−∫（2）二维理想玻色气体的凝聚温度cT由式（2）确定.令cxkTε=，上式可改写为2202πd.e1cxLxmkTnh+∞=−∫（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e1ee,e1e1exxxxxx−−−−==+++−−⋯则0d111e123xx+∞=+++−∫⋯11.nn∞==∑（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱152因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212xyxVmxyzωωω=++中运动.如果原子是玻色子，试证明：在cTT≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyzεωωω=++ℏ的基态，在3,0,NNωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度cT由下式确定：31.202,ckTNω⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠ℏ其中()13.xyzωωωω=温度为T时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比为301.cNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222yxzxyzpppmxmymzmmmεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyznnnxxyyzznnnεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ℏℏℏ,,0,1,2,xyznnn=⋯（2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态,,xyznnn上的粒子数为,,11112221.e1xyzxxyyzznnnnnnkTaωωωµ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−ℏℏℏ（3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即153()0.2xyzµεωωω≡++ℏ（4）化学势µ由()01,,1e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωωεµ⎡⎤+++−⎣⎦=−∑ℏ（5）确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值cT时，µ将趋于0.ε临界温度cT由下式确定：()1,,1,e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωω⎡⎤++⎣⎦=−∑ℏ（6）或,,1,e1xyzxyznnnnnnN++=−∑（7）其中(),,.iiicnnixyzkTω==ℏ在1ickTωℏ的情形下，可以将in看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注意到在dddxyznnn范围内，粒子可能的量子态数为3ddd,cxyzkTnnnω⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ即有3ddd,1xzyxyzcnnnkTnnnNeω++⎛⎞=⎜⎟⎝⎠−∫ℏ（8）式中()13.xyzωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e1e1eee.xyzxyzxyzxyzxyznnnnnnnnnnnnlnnnl++−++++∞−++−++==⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦=∑积分等于154000030dddededede111.202.yxzxyzxyzlnlnlnxyznnnllnnnnnnl∞+∞+∞+∞−−−++=∞==−==∑∫∫∫∫∑所以式（8）给出13.1.202CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（9）式（9）意味着，在,0Nω→∞→而3Nω保持有限的极限情形下，CkT取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.在cTT时，凝聚在基态的粒子数0N由下式确定：301.202,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ上式可改写为301.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovoetal.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果,zxyωωω，则在zkTωℏ的情形下，原子在z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明CTT时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyεωω=+ℏ的基态，在2,0,NNωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度cT由下式确定：21.645,CkTNω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中()12.xyωωω=温度为T时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比为201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠155解:在,zxyωωω的情形下，原子z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在cTT时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyεωω=+ℏ的基态.临界温度cT由下式确定：20dde1xyxyCnnkTnnNω+∞+⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫ℏ21.645,CkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（1）其中()12,xyωωω=201dd11.645.e1xyxynnlnnl∞+∞+===−∑∫（2）在,0Nω→∞→而2Nω保持有限的热力学极限下ckT为有限值，有12.1.645CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（3）CTT≤时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比由下式确定：201.645,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ或201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovoetal及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirż̇etal.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在ω到dωω+的圆频率范围内光子的量子态数为156()223dd.πVDcωωωω=（1）温度为T时平均光子数为()()d,d.e1kTDNTωωωωω=−ℏ（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为()2230d.πe1kTVNTcωωω+∞=−∫ℏ（3）引入变量xkTω=ℏ，上式可表示为()3223033233dπe12.404.πxVkTxxNTckVTc+∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠=∫ℏℏ或()332332.404.π