高一数学必修1集合的含义与表示练习题(附答案)

第一章集合1．1集合与集合的表示方法一、选择题1．下列各组对象①方程x2+2x+1=0的解；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有(B)134A．2组B．3组C．4组D．5组2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于10的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是(B)A．M、N、PB．M、P、QC．N、P、QD．M、N、Q3．下列命题中正确的是(C)A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是()A．第一象限内的点B．第三象限内的点C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则(D)A．x＋y∈MB．x＋y∈XC．x＋y∈YD．x＋yM6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}6．C解析：在选项A中，M＝，P＝{0}，是不同的集合；在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．二、填空题7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．10．用符号∈或填空：①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，2______R．②21______R，5______Q，｜－3|______N＋，｜－3｜______Z．11．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．12．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．13．方程组321xzzyyx的解集为______．14．已知集合P＝{2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．15．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．②{2，3，4}___________________________________________________________．③}75,64,53,42,31{______________________________________________________．16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______．三、解答题17．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．17．解：有4个元素，它们分别是：(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形；(3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．18．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．19．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则Aa11．(1)若2∈A，求A；(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由；(3)求证：Aa11．19．证明：(1)若2∈A，由于2≠1，则A211，即－1∈A．∵－1∈A，－1≠1∴A)1(11，即A21．∵,121，21A∴A2111，即2∈A．由以上可知，若2∈A，则A中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{A．(2)不妨设A是单元素的实数集．则有,11aa即a2－a＋1＝0．∵＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，∴方程a2－a＋1＝0没有实数根．∴A不是单元素的实数集．(3)∵若a∈A，则Aa11∴Aa1111，即Aa11．20．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R①若A是空集，求a的范围；②若A中只有一个元素，求a的值；③若A中至多只有一个元素，求a的范围．20．解：①∵A是空集∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根∴,089,0aa解得89a②∵A中只有一个元素，∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根32x；当a≠0时，令＝9－8a＝0，得89a，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．由以上可知a＝0，或89a时，A中只有一个元素．③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形，A中有且仅有一个元素，A是空集，由①、②的结果可得a＝0，或89a．21．用列举法把下列集合表示出来：①A=};99|{NNxx②B=};|99{NNxx③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；⑤E＝*},,5,|{NNqpqpxqpx．解：①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时199x，3，9也是自然数，∴A＝{0，6，8}②由①知，B＝{1，3，9}．③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，∴x＝0，1，2时，y＝6，5，2符合题意．∴C＝{2，5，6}．④点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有.2,2,5,1,6,0yxyxyx∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．⑤由p＋q＝5，p∈N，q∈N*得.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0qpqpqpqpqp又∵qpx，∴}4,23,32,41,0{E22．已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．解：由已知，＝4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}，∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．∴2x－1≥3，或2x－1≤－1，∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．22．解：由已知，＝4(p－1)2－4≥0，得P≥2，或P≤0，∴A＝{p｜p≥2，或p≤0}，∵x∈A，∴x≥2，或x≤0．∴2x－1≥3，或2x－1≤－1，∴B＝{y｜y≤－1，或y≥3}．集合与集合的表示方法参考答案一、选择题1．A2．B3．C4．D5．A6．C解析：在选项A中，M＝，P＝{0}，是不同的集合；在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．二、填空题7．28．x≠3且x≠0且x≠－1根据构成集合的元素的互异性，x满足.2,32,322xxxxxx解之得x≠3且x≠0且x≠－1．9．2或410．①∈，∈，∈，，∈．②∈，，∈，．11．m＝3，n＝2．12．31a，91b．解析：由题意知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0只有等根x＝a，则＝(a－1)2－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0②，由①、②解得91，31ba.13．{(1，0，2)}14．Q＝{0，2，3，4，6，8，12}15．①{x｜x＝2n，n∈N*且n≤6}，②{x｜2≤x≤4，x∈N}，或{x｜(x－2)(x－3)(x－4)＝0}③}6,2|{*nnnnxx且N16．B＝{0，1，2}解析：∵y∈A，∴y＝－2，－1，0，1，∵x＝｜y｜，∴x＝2，1，0，∴B＝{0，1，2}三、解答题18．解：∵5∈A，且5B．∴,53，5322aaa即.2,24aaa或∴a＝－419．证明：(1)若2∈A，由于2≠1，则A211，即－1∈A．∵－1∈A，－1≠1∴A)1(11，即A21．∵,121，21A∴A2111，即2∈A．由以上可知，若2∈A，则A中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{A．(2)不妨设A是单元素的实数集．则有,11aa即a2－a＋1＝0．∵＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，∴方程a2－a＋1＝0没有实数根．∴A不是单元素的实数集．(3)∵若a∈A，则Aa11∴Aa1111，即Aa11．21