随机信号分析-题目及答案

第页共页1.（10分）随机变量12,XX彼此独立，且特征函数分别为12(),()vv，求下列随机变量的特征函数：（1）122XXX（2）12536XXX解：（1）121222()jvXXjvXjvXjvXXvEeEeEee1221212()(2)jvXjvXXXEeEevv和独立（2）1212536536()jvXXjvXjvXjvXvEeEeee1253612jvXjvXjvXXEeEeEe和独立612(5)(3)jvevv2.（10分）取值1,1，概率[0.4,0.6]的独立半随机二进制传输信号()Xt，时隙长度为T，问：（1）信号的均值函数EXt；（2）信号的自相关函数,XRtt；（3）信号的一维概率密度函数;Xfxt。解：（1）10.410.60.2EXt(2)当,tt在同一个时隙时：222(,)()()[()]10.6(1)0.41XRttEXtXtEXt当,tt不在同一个时隙时：(,)()()()()0.20.20.04XRttEXtXtEXtEXt（3）;0.610.41Xfxtxx3.（10分）随机信号0()sin()Xtt，0cosYtt，其中0为常数，为在[]-,上均匀分布的随机变量。学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页2（1）试判断Xt和Yt在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；（2）试判断Xt和Yt是否联合广义平稳。解：（1）由于X(t)和Y(t)包含同一随机变量，因此非独立。根据题意有12f()。001sin()02E[X(t)]Etsin(wt)d，001cos()02E[Y(t)]Etcos(wt)d121212010201020120120121211242XYXYC(t,t)R(t,t)E[X(t)Y(t)]E[sin(wt)cos(wt)]sin(wt)cos(wt)dsin[w(tt)]sin[w(tt)]dsin[w(tt)]由于0XYXYR(t,t)C(t,t)，X(t)和Y(t)在同一时刻正交、线性无关。除012wttk外的其他不同时刻12120XYXYR(t,t)C(t,t)，所以1X(t)和2Y(t)非正交且线性相关。（2）由于0E[X(t)]E[Y(t)]，X(t)和Y(t)均值平稳。12010201020120120120121241122XR(t,t)Esin(wt)sin(wt)sin(wt)sin(wt)d{cos[w(tt)]cos[w(tt)]dcos[w(tt)]cos(w)同理可得1212YXR(t,t)R(t,t)，因此X(t)和Y(t)均广义平稳。由于121201201122XYXYR(t,t)C(t,t)sin[w(tt)]sin(w)，因此X(t)和学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页3Y(t)联合广义平稳。4.（10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c均为常数）？如果不能，请写出理由。（1）cos()||4()0ccR其它（2）cos()||2()0ccR其它（3）10cos()||()0ccR其它（4）()=cos()||cR解：（1）不能，因为零点连续，而4/点不连续。（2）能。（3）不能，因为20cR()R()，而R()又不是2c/的周期函数。（4）能。5.（10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度01W/Hz2N，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。解：系统的传递函数为11RHjRjLj，则系统输出功率谱密度为学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页4222112121YXSSHj。输出噪声的自相关函数为12YRe输出噪声总功率为102NYPR()(W)6.（10分）设随机信号()()()sinZtXttYtt00cos，其中0为常数，()()XtYt和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：（1）()()XtYt和是否联合广义平稳？（2）假如()()XYRR=，()Zt是否为广义平稳的随机信号？证明：（1）由于()()XtYt和相互正交，所以(,)(,)0XYYXRttRtt，与t无关，又因为()()XtYt和均为零均值的平稳随机过程，所以()()XtYt和是联合广义平稳随机信号。（2）假如()()XYRR=，[()][()()sin]0EZtEXttYtt00cos常数(,)[()()]ZRttEZtZt()()()sin()()()sinEXttYttXttYtt0000coscos[()()]()[()()]()EXtXtttEXtYttt0000coscoscossin[()()]()[()()]()EYtXtttEYtYttt0000sincossinsin由于()()XtYt和相互正交，所以[()()][()()]0EXtYtEYtXt(,)[()()]()[()()]()ZRttEXtXtttEYtYttt0000coscossinsin()()()()XYRttRtt0000coscossinsin()()XYRR00coscos，与t无关所以()Zt是广义平稳的随机信号。学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页57.（10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。（1）229()69S=（2）2424()109S=（3）210()010S（4）()2S=解：（1）不可以。不是偶函数。（2）可以。42224111()109219S=，所以3()Ree11=412，所以1(0)3PR11=412（3）可以。10101120()222PSdd（4）可以。11()2()122PSdd8.（10分）某语音随机信号()Xt满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()Nt。讨论：（1）收到的信号()()()YtXtNt的均值各态历经性；（2）()Yt满足广义各态历经性的条件。解：由()Xt满足广义各态历经性，所以()Xt广义平稳且满足：[()][()][()()][()()]xEXtAXtmtEXtXtAXtXtt，与无关，与无关同理，()Nt广义平稳且满足：学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页61[()][()]lim()02[()()][()()]()2TTToENtANtNtdtTNENtNtANtNt由于()Xt与()Nt是独立的，所以：()()()XEYtEXtNtm(,)()()()()()()YXNRttEXtNtXtNtRR所以()Yt是广义平稳的。且有：()()()()()()()XAYtAXtNtAXtANtEXtENtm所以，()()()()()()()()()()()()()()AYtYtAXtNtXtNtAXtXtANtNtAXtNtANtXt()(()()))(()XNAXtNXtNRttRA由于()()XEYtAYtm，所以()Yt是均值各态历经的。假如()()()()0AXtNtAXtNt，则()Yt是广义各态历经的。9.（10分）已知平稳随机信号()Xt的功率谱密度24()4XS。()Xt通过频率响应为1()1Hj的系统后得到()Yt。求：（1）()Yt的均值、平均功率；（2）系统的等效噪声带宽；（3）信号()Yt的矩形等效带宽。解:(1)2124()[]4XRFe()0XXmR，(0)0YXmHm22222411422()()()413431YXSSH21()23YRee学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________………….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共8页71(0)3YYPR（2）22211()()12hHreu202(0)142(0)010YhNrBRjNHH（3）信号()Yt的矩形等效带宽(0)12(0)6YeqYRBS10.（10分）00()()cos(2)()sin(2)Nt