曲线系方程

1曲线系方程本章，我们将看到解析几何中最精彩部分,曲线系。从字面看来似乎很恐怖，其实没那么吓人，下面老师介绍下什么是曲线系。一、直线系首先，脑子里要有这个概念:所有一次式都是直线，所有直线都是一次式!两条相交直线过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程λ(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0表示了所有经过l1和l2交点的直线，给定参数的值，你就得到一条经过其交点的直线。特别的当λ=0，它表示的就是l2；当μ=0，它表示l1，所以当我们要求的直线确定不是l1l2，只需要设一个参数(A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0(此μ不是上面的μ)类型一过定点的直线系方程若直线过定点(a,b)，那么方程可设为λ(y-b)+μ(x-a)=0类型二平行直线系方程与直线Ax+By+C=0,平行的直线系方程:Ax+By+λ=0λ为参数与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0类型三:与距离相关直线系方程与原点距离为定值R的直线系方程:xcosA+ysinA=R,在两坐标轴上结局和为定值R的直线系方程:+=121、求经过两直线2x-3y=1,3x+2y=2的交点且平行于直线y+3x的直线方程?2、经过点(3,2)的一条动直线分别交x轴，y轴于M、N两点，Q是MN中点，连接OQ并延长到P,IOPI=2IOQI,求P点的轨迹方程。解:点(3,2)可以理解为两条直线x-3=0和y-2=0的交点，则过(3,2)的直线方程可以设为x-3+λ(y-2)=0不包括y=2,于是可知M（3+2λ，0），N(0,2+)设点Q,P的坐标分别为()和(x,y)那么x=2,y=2,Q为MN中点，由中点公式，可得到x=3+2λ,y=2+,消去参数可求得轨迹为y=2+3、在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)AaBbCc，点(0,)Pp在线段OA上（异于端点），设,,,abcp均为非零实数，直线,BPCP分别交,ACAB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程：解:由截距式可得AB:+=1,CP:+=1,F看作CP和AB交点，OF可以设为+-1+λ(+-1)=0,直线过原点，带入可以求得λ=-1，故方程为()x+()y=034、在三角形ABC中，AD垂直BC于D,在AD上任取一点H，连接CH,BH并延长，分别交AC，BC于E、F，连接FD,ED,求证:角FDH=角EDH证明:设A（0，a）,B(b,0),C(c,0),H(0,h)AB：+=1,CH:+=1DF过AB,CH的交点F,其方程可以设为+-1+（）=0，DF过原点，故DF：()x+()y=0同理可求DE：()x+()y=0斜率互为相反数，所以角度相等。5、M为等腰直角三角形ABC的腰AC中点，CD垂直BM交AB于D,求证:角BMC=角DMA证明:建立直角坐标系设A（m,0）,C(-m,0),B(-m,2m)BM:2x+y=0由CD垂直BM，且过点C(-m，0)，得CD：x-2y=-m-2*0=-mAB:x+y=mDM经过AB和CD交点D,且过原点M,由两式联立可得DM：2x-y=0BM:2x+y=0,所以得证。总结:使用直线系，关键就是在需要表达的直线上选好一个点，它是两条已知直线交点，然后利用垂直，已知比例关系，过某个点，求出直线方程4二、二次曲线系方程方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的是二次曲线，高中涉及二次曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，以及退化的二次曲线，两条直线。现对退化2次曲线补充说明如下，我们知道方程A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0表示的是两条直线那么方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0将表示这两条直线并且方程展开后为一个二次式。原因很简单，所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当1212AABB时，表示的是两条平行线。设两条2次曲线方程分别为=0，=0，都为2次曲线，那么所有经过交点的二次曲线可以表示成:=0，同样如果能确定需要求的曲线不是=0，=0，我们可以只设一个参数。当我们知道曲线H=0,要求某些未知数，可以利用方程=H，两边对比系数即可，同样，如果H不为本身，通过除以或，可知上式两个待定系数可以放在任意两个方程前面，应依据实际情况放在适合计算的位置。类型一圆曲线系方程1、若直线l:Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相较于A、B两点，则曲线系方程(Ax+By+C)+x2+y2+Dx+Ey+F=0表示过A、B两点的所有圆2、若圆:x2+y2+x+y+=0与:x2+y2+x+y+=0表示两个相交圆，则曲线系方程(x2+y2+x+y+）+(x2+y2+x+y+）=0,表示过交点的所有圆，且+不等于0，等于0表示一条直线。3、若()表示圆:x2+y2+x+y+=0上任意一点，则曲线系方程x2+y2+x+y++【(x-)2+(y-)2】=0,表示与相切于()的所有圆56、已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L，使直线L被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，存在求出方程，不存在说明理由。解:假设存在L:其方程为y=x+b,则以AB为弦的圆系方程为x2+y2-2x+4y-4+(x-y+b)=0,因为过圆点，整理可得又因为圆心，在y=x+b上，=b+3,带入,可以求得，，或7、求过两圆:x2+y2-2x-2y-14=0与:x2+y2=25的两交点圆中，面积最小的圆的方程解:设圆、相较于A、B两点，过A、B的曲线方程可以设为x2+y2-2x-2y-14+(x2+y2-25)=0，当，此方程表示过A、B两点的直线，即：2x-2y-11=0当不等于，此方程表示过A、B的所有圆(除外，显然当以AB为直径，此圆面积最小，、圆心分别为(1，1)和(0,0)，即两圆心所在直线方程为y-x=0,解方程组，x=y=,AB中点为(，)，而圆x2+y2-2x-2y-14+(x2+y2-25)=0，圆心为(，)，解得-，带入方程，此圆的半径为r=小于5，故面积最小圆方程为4x2+4y2-22x-22y+21=06注:切记讨论圆系方程漏掉的哪个圆。类型二圆锥曲线系方程共焦点圆锥曲线系方程:+=1(c为焦半径，为参数，当大于0，表示共焦点椭圆系；当大于负的平方小于0，为共焦点双曲线；小于负c的平方，无痕迹。共离心率圆锥曲线方程:+=为共离心率，双曲线变成减号共顶点圆锥曲线方程:+=共渐近线双曲线方程::-=类型三用直线方程构成的二次曲线方程若四条直线:+=0(i=1，2,3,4)，相交于不共线四点,L1和L2交于P1;L2和L3交于p2;L3和L4交于P3;L4和L1交于P4则二次曲线方程()()+()()=0,表示过此4点的所有二次曲线78、2010江苏高考在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．只做第三问设MN：x=ky+n,故我们只要求出n易知TA:y=(x+3)TB::y=(x-3)AB:y=0因为椭圆过二次曲线TATB与二次曲线AB*MN的四个交点，A,B,M,N，所以有【y-(x+3)】【y-(x+3)】+=对比xy，项系数得--+=0对比两边y系数-+-=0解得n=1,所以MN恒过(1,0)总结:反设斜率是因为直线MN可以竖着，不能横着，利用二次型的步骤1、找出4个点，他们为两个二次曲线交点2、找出另外一个过这四个点的二次曲线，构造等式；3、对比系数，求未知数89、椭圆C：22221xyab，e=32，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为1，1）求椭圆方程C2）设C的左右顶点A，B，点P为直线x=1上一动点，PA、PB交C于M、N，证明：直线MN过一定点。解：1）2214xy，过程略2）设P（1，a）PA0(x2)(x2)1(2)3aayPB(x2)ya则PA·PB（3y-ax-2a）（y+ax-2a）=0则过A、B、M、N四点的二次曲线系方程为2222321)2(0yaxaaxaxyab（）(y）[phone]NBMAP9观察M、N、A、B四点，我们发现，它们也是另一条二次曲线上的点：AB·MN，即x轴与直线MN!注意x轴的直线方程为y=0！故，我们只需设出MN方程y=kx+b由上述曲线系方程我们得到2222322(1)yaxaaxayykxbxyab（）(y）+（）我们只要分别找出k、b即可，对比系数我们得到32kaaa628baaa故MN：282(4)yaxaax，恒过点（4,0）证毕。1010、(2011全国卷)已知O为坐标原点，F为椭圆C：2212yx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足0OPOBOA.（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。解:第一问省略，直接做第二问由1可知P（，），因为P、O、Q三点共线，易求得PQ的方程为2x-y=0，又直线AB方程为y=-2x+1;故直线AB、PQ的二次方程为(2x-y)(2x+y-1)=0A、P、B、Q的曲线系方程为(2x-y)(2x+y-1)+(2)=0即-2x+y-2=,带入原式，化简得4+4-2x-y-6=0因为2+-4大于0，所以此方程表示一个圆，故A、P、B、Q四点共圆二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+EY+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D²+E²-4F0。11最后一个问题一条直线与一个二次曲线交于A、B两点，那么我们可以用0A表示这个曲线设直线AB的方程为y=kx+m曲线方程为:ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0可以将直线变形成=1,利用它将曲线方程配成二次，得ax²+by²+cxy+dx*++ey*+f）=0，观察下这个式子，A、B在他上面，他一定能分解成A（y-）（y-）,这就是过原点两条直线!如果不能理解，还可以这样看:两边同除x²，视其为关于的二次方程，解出来的两根就是，由此我们可以得出0A就是ax²+by²+cxy+dx*++ey*+f）=0!，就是他们的斜率由A（y-）（y-）可知*=x²项的系数除y²项系数；+=-(xy得系数除以y²的系数)所有系数均由ax²+by²+cxy+dx*++ey*+f）=0!给出。11、抛物线y²=2px,过原点的两条直线OA,OB交抛物线于A、B两点，证明AB过x轴上一定点。证明:设AB：x=my+n0A:y²-2px*=0,由OA垂直OB,*=-1,n=2p,从而AB,过定点(2p,0)12