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1|类型1|反比例函数1．[2019·龙东地区改编]如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=1𝑥(x0)的图象上，顶点B在反比例函数y=5𝑥(x0)的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是．[答案]4[解析]设A(a，b)，B(a+m，b)，依题意得b=1𝑎，b=5𝑎+𝑚，∴1𝑎=5𝑎+𝑚，化简得m=4a．∵b=1𝑎，∴ab=1，∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4．2．[2019·衢州]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y=𝑘𝑥(k≠0)的图象经过点C．且S△BEF=1，则k的值为．[答案]24[解析]连接OC，过F作FM⊥AB于M，延长MF交CD于N．设BE=a，FM=b，由题意知OB=BE=a，OA=2a，DC=3a．反比例函数综合问题提分专练052因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，所以△BEF∽△CDF，所以BE∶CD=EF∶DF=1∶3，所以NF=3b，OD=MN=FM+FN=4b．因为S△BEF=1，即12ab=1，∴S△CDO=12CD·OD=12×3a×4b=6ab=12，所以k=xy=2S△CDO=24．3．[2019·随州]如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为．[答案]4[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，∵反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象经过点D，E，∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=𝑘2，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，即S△OMD=S四边形EMHC，∴S△ODE=S梯形DHCE=3，设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n)．∵反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象经过点D，E，∴E(2m，𝑛2)，∴S梯形DHCE=12(𝑛2+n)m=3，∴k=mn=4．4．[2019·兰州]如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，AO．(1)求反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的表达式；3(2)若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．解：(1)作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB=OC=2，OD=12OC=1，∴BD=√𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=√3，∴S△OBD=12OD·BD=√32，又∵S△OBD=12|k|，∴|k|=√3，∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象在第一、三象限，∴k=√3，∴反比例函数的表达式为y=√3𝑥．(2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×√3=√3，∴S△AOC=3√3−√3=2√3．∵S△AOC=12OC·yA=2√3，∴yA=2√3．把y=2√3代入y=√3𝑥，得x=12，∴点A的坐标为12，2√3．|类型2|反比例函数与一次函数的综合问题5．[2018·贵港]如图T5，已知反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与一次函数y=-12x+4的图象交于A和B(6，n)两点．(1)求k和n的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．4解：(1)把B(6，n)代入一次函数y=-12x+4中，可得n=-12×6+4=1，所以B点的坐标为(6，1)．又B在反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上，所以k=xy=1×6=6，所以k的值为6，n的值为1．(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=6𝑥．当x=2时，y=62=3；当x=6时，y=66=1，由函数图象可知，当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.6．[2019·岳阳]如图，双曲线y=𝑚𝑥经过点P(2，1)，且与直线y=kx-4(k0)有两个不同的交点．(1)求m的值；(2)求k的取值范围．解：(1)把P(2，1)的坐标代入y=𝑚𝑥，得：1=𝑚2，m=2．(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=2𝑥，∴2𝑥=kx-4，整理得：kx2-4x-2=0，∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴Δ0，即(-4)2-4k·(-2)0，解得：k-2．又∵k0，5∴k的取值范围为-2k0．7．[2018·宜宾]如图，已知反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4，n)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．解：(1)∵反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象经过点(1，4)，∴4=𝑚1，解得m=4，故反比例函数的表达式为y=4𝑥．∵Q(-4，n)在反比例函数的图象上，∴n=4-4=-1，∴Q(-4，-1)．∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4，-1)，∴-1=4+b，解得b=-5，∴一次函数的表达式为y=-x-5．(2)由题意可得：{𝑦=4𝑥，𝑦=-𝑥-5，解得{𝑥=-4，𝑦=-1或{𝑥=-1，𝑦=-4，∴P(-1，-4)．在一次函数y=-x-5中，令y=0，得-x-5=0，解得x=-5，故A(-5，0)．∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=12×5×4-12×5×1=7.5．68．[2019·广东]如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)．(1)根据图象，直接写出满足k1x+b𝑘2𝑥的x的取值范围；(2)求这两个函数的表达式；(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求点P的坐标．解：(1)x-1或0x4．(2)把A(-1，4)的坐标代入y=𝑘2𝑥，得k2=-4．∴y=-4𝑥．∵点B(4，n)在反比例函数y=-4𝑥的图象上，∴n=-1．∴B(4，-1)．把A(-1，4)，B(4，-1)的坐标代入y=k1x+b，得{-𝑘1+𝑏=4，4𝑘1+𝑏=-1，解得{𝑘1=-1，𝑏=3．∴y=-x+3．(3)设直线AB与y轴交于点C，∵点C在直线y=-x+3上，∴C(0，3)．S△AOB=12OC·(|xA|+|xB|)=12×3×(1+4)=7．5，又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2，∴S△AOP=13×7．5=2．5，S△BOP=5．又S△AOC=12×3×1=1．5，1．52．5，∴点P在第一象限．∴S△COP=2．5-1．5=1．又OC=3，∴12×3×xP=1，解得xP=23．7把xP=23代入y=-x+3，得yP=73．∴P(23，73)．9．[2019·广州]如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=𝑛-3𝑥的图象相交于A，P两点．(1)求m，n的值与点A的坐标；(2)求证：△CPD∽△AEO；(3)求sin∠CDB的值．解：(1)将点P(-1，2)的坐标代入y=mx，得：2=-m，解得m=-2，∴正比例函数解析式为y=-2x；将点P(-1，2)的坐标代入y=𝑛-3𝑥，得：2=-(n-3)，解得：n=1，∴反比例函数解析式为y=-2𝑥．解方程组{𝑦=-2𝑥，𝑦=-2𝑥，得{𝑥1=-1，𝑦1=2，{𝑥2=1，𝑦2=-2，∴点A的坐标为(1，-2)．(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．∵AB⊥x轴，8∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD∽△AEO．(3)∵点A的坐标为(1，-2)，∴AE=2，OE=1，AO=√𝐴𝐸2+𝑂𝐸2=√5．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE，∴sin∠CDB=sin∠AOE=𝐴𝐸𝐴𝑂=2√5=2√55．10．[2019·自贡]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=𝑚𝑥(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；(3)直接写出当y1y2时，x的取值范围．解：(1)将A(3，5)的坐标代入y2=𝑚𝑥得，5=𝑚3，∴m=15．∴反比例函数的解析式为y2=15𝑥．当y2=-3时，-3=15𝑥，∴x=-5，∴点B的坐标为(-5，-3)．将A(3，5)，B(-5，-3)的坐标代入y1=kx+b得，{3𝑘+𝑏=5，-5𝑘+𝑏=-3，解得{𝑘=1，𝑏=2．∴一次函数的解析式为y1=x+2．(2)令y1=0，则x+2=0，解得x=-2．9∴点C的坐标为(-2，0)．设一次函数图象与y轴交于点D．令x=0，则y1=2．∴点D的坐标为(0，2)．连接PB，PC，当B，C和P不共线时，由三角形三边关系知，PB-PCBC；当B，C和P共线时，PB-PC=BC，∴PB-PC≤BC．由勾股定理可知，BC=√(-5+2)2+(-3-0)2=3√2．∴当P与D重合，即P点坐标为(0，2)时，PB-PC取最大值，最大值为3√2．(3)当y1y2时，x的取值范围为x3或-5x0．