2012年全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试-附详细解答)

2012模拟卷（6）第1页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设()fx是一个偶函数,使得对所有整数x和y,都有()()()61fxyfxfyxy,则(2011)(2010)ff____________2.22(31)(9651)(23)(412131)yxxxxxx的图象与x轴交点坐标是3.将二顶式41()2nxx的展开式按x的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个.4.已知数列{an}是正整数组成的递增数列,212nnnaaanN,若552a，则7a_________5.在三棱椎P−ABC中,BC=3,CA=4,AB=5,若三侧面与底面所成二面角均为45°,则VP−ABC＝________6.数列a0,a1,…,an满足a0＝3,an+1=[an]＋1{an},([x],{x}分别表示x的整数部分和小数部分),则2011a=__________7.由直线2yn(n∈N*)与抛物线2yx所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_____________8.有一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出的概率分别为1a,1b,1c(,,abc∈N*且1≤,,abc≤10),现甲,乙,丙同时独立解答此题,若他们中恰有一人解出此题的概率为715,那么,他们三人都未解出此题的概率为__________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）10.设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn＝－ban－nb)1(1+1，其中b是与n无关的常数，且b≠－1.（1）求an与an−1的关系式；（2）写出用n与b表示an的表达式.9．已知定义在,4上的减函数f(x)，使得27sin12cos4fmxfmx对一切实数x均成立，求实数m的范围．11.椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，P为椭圆1C上任意一点，且12PFPF最大值的取值范围是22,3cc，其中22cab．⑴求椭圆1C的离心率e的取值范围；⑵设双曲线2C以椭圆1C的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线2C在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数0，使得11BAFBFA恒成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由．2012模拟卷（6）第2页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(6)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）圆O是△ABC的内切圆．D、E、F是BC、CA、AB上的切点，DD，EE，FF都是圆O的直径．求证：AD，BE，CF共点．二、（本题满分40分）若x,y,z是正实数，且xyyzzxxyz，求777(1)(1)(1)xyzyzxzxy的最小值．三、（本题满分50分）证明：对于大于2的任意正整数a，存在无限多个*Nn．使得|1nna．四、（本题满分50分）给定n个共线的点，考虑点与点之间的距离，假设每个距离最多出现两次，证明：至少有2n个距离分别只出现过一次.F/E/D/OFECBAD2012模拟卷（6）第3页共6页2012年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案1、令0xy,得(0)1f,令yx,得2()31fxx,所以(2011)(2010)ff120632、解：22(31)((31)41)(23)((23)41)yxxxx,令2()(41)fttt，可知()ft是奇函数，且严格单调，所以(31)(23)yfxfx，当0y时，(31)(23)(32)fxfxfx，所以3132xx，故45x，即图像和x轴交点坐标为4(,0)53、易求前三项系数分别是1,12n,1(1)8nn.由这三个数成等差数列,有122n1+1(1)8nn,解得8n和1n(舍去).当8n时,3(4)4181()2rrrrTCx,由43r,得r只能是0,4,8.4、3212,aaa43221232aaaaa，54321256aaaaa方程215652aa的正整数解为122,8aa或127,2aa，又21aa∴122,8aa，故7652122122212aaaaa5、作POABCO面于，ODBCD于，OE⊥CA于E，OF⊥AB于F，设OP=h，则45PDOPEOPFO，于是cot45ODOEOFhh，在△ABC中，345212ABCODOEOFS，即：34512hhh，所以1h,1161233VSh6、由已知得：0131a，1131311122231a22231a231431，3131314452231a4731a，易得：221313131,322kkakak,所以20113130152a7、直线2yn与抛物线2yx的交点22,,,AnnBnn，设直线xk上位于区域内的线段为CD，其端点坐标为22,,,CknDkk，则线段CD上的整点数为221nk，,1,0,1,2,knn，故区域内的整点数为：221nknnk2212112nknnk2121233nnn8、依题意：111111111715bcacababcabcabc即：151111117abbccaabc所以：5|abc,不妨设5|c，于是c=5，31141417abbaab即：33374abab，所以3|ab，不妨设3|b，于是3,6,9b当3b时，2a；6b时，3118aa，无整数解。9b时，32012aa，无整数解。所以2a，3b，5c，于是三人都未解出的概率为4159、由题意可得27sin12cos,4sin4.mxmxmx即2312sinsin,44sin.mmxxmxxR对恒成立，又2311sin2sin(sin)422xxx，所以4sin3x．2012模拟卷（6）第4页共6页所以112,23.mmm所以112,23.mmm所以12m，或332m．10、解（1）21111)1(1)1(11babbaSa得当n≥2时，an=Sn－Sn－1＝－ban+1－nnnnnnbbbababbab)1(])1(11[)1(1111,整理得11(2)(*)1(1)nnnbbaanbb⑵当b＝1时，a1＝14,1111,22nnnaa两边同乘以2n，得2nan=2n－1an－1＋12,可知数列{2nan}是以2a＝12为首项，公差为12的等差数列.所以.2,221)1(2121nnnnnanna即当b≠1，b≠－1时，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+bb11111111111()().(),.(1)(1)nnnnnnnnnnnbbbaacaccbbbbbbb有令从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得,)1)(1()1()1)(1(1)1()1(,)1)(1(1)1111(11,111),111(111,)1(1,,)1(1,)1(111112111211122312nnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbcbbabbbbbbbbcbabbcbbbbccnbbccbbccbbcc从而所以且个式子相加得上述故数列{an}的通项公式为.1)1)(1()1(,1,21bbbbbbnannnn11、⑴设,Pxy，又12,0,,0FcFc，∴12,,,PFcxyPFcxy．22212PFPFxyc．又22221yxab，得2222222,0bxybxaa．∴2222222122221bcPFPFxbcxbcaa．∴当22xa时212maxPFPFb，22222223,3cbccacc．∴221142ca，即21142e．∴1222e．⑵当12e时，2,3acbc．∴22222:13yxCcc，2,0Ac．2012模拟卷（6）第5页共6页设0000,,0,0Bxyxy，则22002213xycc．当ABx轴时，02xc，03yc，则13tan13cBFAc．故14BFA．故1122BAFBFA，猜想2，使11BAFBFA总成立．当02xc时，00011000tan,tan2yyyBAFBFAxaxcxc．∴00112210022tantan21tan1yxcBFABFABFAyxc．又222220002313xycxcc，∴2000112220002tan2tan23yxcyBFABAFxcxcxc．又12BFA与1BAF同在0,,22内，∴12BFA=1BAF，故存在2，使11BAFBFA恒成立．二试一、设直线,,ADBECF交,,BCCAAB于,,ABC．过D作圆O的切线交,ABAC于,MN．显然//,MNBCAMDABAADNAAC△∽△△∽△．则MDADDNBAMDBAAAACACDN……⑴连结OM，ON，记圆O半径为r．易证B、D、O、F与C、D、O、E分别共圆，则,FODBEODC．所以1122MODFODB，1122NODEODC．因为tantan2MDBMODr，tantan2NDCNODr，所以tan2tan2BMDDNC……⑵，将⑵代入⑴得：tan2tan2BBAACC．同理可知：tan2tan2CCBBAA，tan2tan2AACCBB．此时1BACBACACBACB．根据塞瓦逆定理，可知,,AABBCC三线共点．即,,ADBECF共点．二、由题设条件得：1111xyz，设abcxaabcybabczc其中,,abc是正实数，则左边727()()1abcabcbca72227()abcabcababbcacacbca77655655733888888783773()()838383abcabcabcabcbcaabc．仅当abc时，即3xyz时取等.F/E/D/OFECBAD2012模拟卷（6）第6页共6页三、不妨设p为1a的一个素因子，则我们证明1kk