2019年高考真题全国1卷文科数学(附答案解析)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生统一考试文科数学试题卷一、单选题1．设3i12iz−=+，则z=A．2B．3C．2D．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB===，，，则CUBAIA．{}1,6B．{}1,7C．{}6,7D．{}1,6,73．已知0.20.32log0.2,2,0.2abc===，则A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=2sincosxxxx++在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+10．双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50°D．1cos50°11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=A．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB=││││，1ABBF=││││，则C的方程为A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=二、填空题13．曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS==，，则S4=___________．15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx=+−的最小值为___________．16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21．已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc++≤++；（2）333()()()24abbcca+++≥++．参考答案1．C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z，再求z．【详解】因为312izi−=+，所以(3)(12)17(12)(12)55iiziii−−==−+−，所以2217()()255z=+−=，故选C．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．C【解析】【分析】先求UAð，再求UBA∩ð．【详解】由已知得{}1,6,7UCA=，所以UBCA∩={6,7}，故选C．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．3．B【解析】【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc【详解】22log0.2log10,a==0.20221,b==0.3000.20.21,=则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则2626511052xxy+−==+，得42.07,5.15xcmycm≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5．D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx−+−−−−===−−+−+，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2fπππππ++==2()01fπππ=−+．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6．C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}na，公差10d=，所以610nan=+()n∗∈N，若8610n=+，则15n=，不合题意；若200610n=+，则19.4n=，不合题意；若616610n=+，则61n=，符合题意；若815610n=+，则80.9n=，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.7．D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=+==+=000031tan45tan30323.1tan45tan30313++==+−−【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．8．B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb−⊥得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb−⊥，所以2()abbabb−⋅=⋅−=0，所以2⋅=abb，所以cosθ=22||12||2abbabb⋅==⋅，所以a与b的夹角为3π，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．9．A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122Ak==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A+，1kk=+=2，循环，执行第2次，22k=≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A+，1kk=+=3，32k=≤，否，输出，故循环体为12AA=+，故选A．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA=+．10．D【解析】【分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan50bbaa−=°∴=°，再利用21cbeaa==+求双曲线的离心率．【详解】由已知可得tan130,tan50bbaa−=°∴=°，2222222sin50sin50cos50111tan501cos50cos50cos50cbeaa°°+°∴==+=+°=+==°°°，故选D．【点睛】对于双曲线：()222210,0xyabab−=，有21cbeaa==+；对于椭圆()222210xyabab+=，有21cbeaa==−，防止记混．11．A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224abc−=，由余弦定理推论可得22222141313cos,,,464224242bcacccbAbcbcbc+−−−==∴=−∴=∴=×=，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．12．B【解析】【分析】由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，得12AFn=，在1AFB△中求得11cos3FAB∠=，再在12AFF△中，由余弦定理得32n=，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=−=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn+−∠==⋅⋅．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn+−⋅⋅⋅=，解得32n=．2222423,3,312,anabac∴==∴=∴=−=−=∴所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．法二：由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=−=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnAFFnnnBFFn+−⋅⋅⋅∠=+−⋅⋅⋅∠=，又2121,AFFBFF∠∠互补，2121coscos0AFFBFF∴∠+∠=，两式消去2121coscosAFFBFF∠∠,，得223611nn+=，解得32n=．2222423,3,312,anabac∴==∴=∴=−=−=∴所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．13．30xy−=.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数