练习六、七

主要内容回顾刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。1、刚体的定义刚体最基本的运动方式是：平动和转动。刚体的平动：若刚体内任意两质元的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动的刚体可当作一个质点处理。刚体的转动：刚体上各个质元都绕同一直线作圆周运动。2、刚体的基本运动3、刚体定轴转动2）定轴转动的角量描述刚体在定轴转动时，定义垂直于转轴的平面为转动平面，这是刚体上各质点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的圆周运动。1）定义若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴垂直于固定轴的平面为转动平面。3）定轴转动的特点(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)角量描述的是共性——所有质点都有相同的角移、角速度，角加速度。线性描述的是个性——各质点的线位移，线速度，线加速度与质点到轴的距离成正比。(3)运动描述仅需一个角坐标．terωvtet2nararω2tnarerωetωdd22ddddωttavrtana4）角量与线量的关系角速度矢量的方向：由右手螺旋法规确定。角速度矢量与线速度的关系：rv线量与角量的关系：角位移角速度角加速度tddddt角量：对于匀角加速转动，则有：匀加速直线运动：4、刚体定轴转动的转动定理1）对点的力矩：力矩是质点产生转动效应的外在因素，力矩与参考系的选择有关，其定义式为：式中为参考点指向力的作用点的矢径。MrFr2)对轴的力矩：对轴的力矩是刚体转动状态发生变化的原因，即获得角加速度的原因，对轴的力矩的定义式为||是力的作用力到转轴的距离，力矩的方向只能沿着转轴方向。roMFmrzyxFFFzyxkjiMyzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM3）力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关sinFrM※在直角坐标系中，其表示式为FrM)()(kFjFiFkzjyixzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyxPz*OFrdM任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的力矩之和为零：力对固定轴的力矩为零的情况：则力对该轴无力矩作用若力的作用线与轴相交若力的作用线与轴平行j0,0iiiiMFFF0,0iiiiMFFF4）转动惯量定义：表征刚体转动惯性大小的物理量，通常用符号J表示。它的定义式为：对于单个质点2mrJ质点系niiirmJ12mdmrJ2若物体质量连续分布，上述定义式中的r均为所考察的质点到轴的距离。(２)质量元的选取：)(dldxdm或线分布面分布dsdm体分布dvdm(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。(1)刚体的转动惯量与刚体的质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。注意：mdmrJ25）转动定律转动定律MJ刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。平行轴定理2mdJJCOdCOm转动定律说明了J是物体转动惯性大小的量度。因为：MJ一定时J即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，J越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。1）、刚体的转动动能221JkEikiE212iiimv2212iiimr221()2iiimr可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。注意比较221JEk转动动能Emvk122平动动能i质点的动能2222121iiiikirmvmE整个刚体的动能—对i求和5、刚体定轴转动的动能定理2)力矩对定轴转动的刚体所做的功当刚体在力矩M作用下，转过有限角（由）时，力矩的功为21MdW12转到3）定轴转动的动能定理WMdJd)21(221JMd2122212121JJdJddtdJdtdtdJ22211122JJ=合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。4）刚体的势能由刚体质心（在一般情况下质心位置与重心位置相同）的高度来决定，即5）机械能守恒其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。PiiciEmgymgy=0W=0.W外内非守恒条件为外力矩的功，同时内部非保守力矩的功恒量222212121kxmghJmvc6、角动量定理１）质点对固定点的角动量·0rvmLvmrL角动量是矢量，角动量L的方向垂直于r和mv所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。sinmvrLL的大小为★在直角坐标系中yzxzpypLzxyxpzpLxyzypxpLL★是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关mvr2）角动量定理00ttMdtLL积分形式：*：M和L必须是对同一点而言外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量。即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。MdLdtrFddtrmv()或3）角动量守恒律a、对点的角动量守恒律dtLdM若，则0M常数vmrL质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。b、对轴的角动量守恒律：若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒1）刚体对轴的角动量iiiirvmLiiiiiirvmLLiiirm2J7、刚体对轴的角动量守恒2）对轴的角动量定理21)(ttJMdt3）定轴转动的角动量守恒21)(ttJMdt若Mz外＝0，恒量则JL若外力对某轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对同一轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律a、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒，J可变，ω亦可变，但仍有Jω=常数，故有1J注意开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。b、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量常量2211JJLc、刚体与质点组绕同一轴的角动量守恒总角动量常量iiiiiivmrJLsin守恒时只是总角动量守恒，但各个刚体的角动量则在内力矩的作用下进行再分配。质点运动和刚体定轴转动的比较(类比方法)dtrdvdtvdamFvmpamdtpdFdtddtddmrJ2sinFrMJLJdtdLM速度加速度质量力动量牛顿第二定律角速度角加速度转动惯量对轴的力矩对轴的角动量转动定律质点的运动刚体的定轴转动1221vmvmdtFtt21ttdtF恒量时，vmF0rdFWvFvFPt221mvEk21222121mvmvW112221JJMdttt21ttMdt恒量时，JM0MdWMP221JEk21222121JJW冲量矩角动量定理角动量守恒定律力矩的功功率转动动能转动动能定理冲量动量定理动量守恒定律力的功功率动能动能定理质点的运动刚体的定轴转动练习六刚体力学BC3.三个质量均为m的质点，位于边长为a的等边三角形的三个顶点上。此系数对通过三角形中心且垂直于三角形平面的轴的转动惯量J0=_________对通过三角形中心且平行于一边的轴的转动惯量为JA=________对通过三角形中心和和一个顶点的轴的转动惯量为JB=__________.2222023()3323aRaaJmRma解：（1），有2223133  3326331()2()362AaaaJmamama（2）一个点离轴，另外两个点离轴有221322112()22BaJmama（）只有个点有转动惯量，其离轴为有4.0radMdW21222121JJW练习七E解析：角动量守恒条件：质点系外力矩为0。机械能守恒条件：系统与外界无机械能交换（W外=0），同时系统内部无机械能与其他形式能量的转换（W内非=0）。对于椭圆运动有：大小不变，方向也不变，方向始终垂直于和组成的平面。iiiVmrL*iriV图12.一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图1射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω(A)增大(B)不变(C)减小(D)不能确定[C]   M=0==M=0=iiLrmvJ角动量守恒：对某固定点，若，则常量对某固定轴，若，则常矢量21niiiJmrw转动惯量增大，减小。合外力矩为零.可以得到由子弹和转盘组成的系统角动量守恒.增加,减小00JJJ2275kgm2/s13m/ssin3gl