一个决策树算法案例分析剖析

1兵者，国之大事也。死生之地，存亡之道，不可不察也。故经之以五事，效之以计，而索其情。一曰道,二曰天，三曰地，四曰将，五曰法。夫未战而庙算胜者，得算多者；未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况於无算乎？兵法：一曰度，二曰量，三曰数，四曰称，五曰胜。地生度，度生量，量生数，数生称，称生胜。24.1决策分析案例背景匹兹堡开发公司(PDC)已购得一块地用于建造一个高档的沿河综合商业楼，其位置对繁华的匹兹堡和金三角有很好的景观，所谓金三角是指两条小河汇流成俄亥俄(Ohio)河的地段。每一个建30万～120万，取决于单元所处楼层，面积以及备选的设施。公司对这套楼房的设计，d1——小型楼，有6层，30d2——中型楼，有12层，60d3——大型楼，有18层，90个单元。决策问题是要从这三个方案中选择其中之一，并提出决策分析的书面报告，包括分析计算书，建议，以及风险提示。常规（用）决策技术和效用理论3为了进行决策分析，(1)市场调研，综合楼被市场接受的程度如何?亦即市场的需求如何?对此问题，公司管理者通过调研认为，只有两种市场接受状态，称为决策者无法控制的自然S1——高的市场接受程度，S2——低的市场接受程度，对楼房需求有限。(2)要根据工程设计与造价核算以及销售价格计算出不同方案，不同自然状态时，楼房的盈亏(益损)表。对该问题，经计算得到如下益损矩阵Vij备选方案自然状态高的市场接受程度S1低的市场接受程度S2小型楼d1800万700万中型楼d21400万500万大型楼d32000万-900万4其中i——表示方案，j——表示状态。比如：V32=-900万，表示大型楼方案d3在低的市场接受S2时，楼房不能正常销售，估计可能带来亏损900万。4.2常用决策分析方法按照问题面临的自然状态出现的概率无法知道，抑或可以通过调研统计得到，常用决策方法划分为不确定性决策方法与风险决策方法。一、不确定性决策方法(自然状态出现的概率不知道)1对各方案先从不同状态的Vij中取一最大值者，得：最大值小型楼d1→800中型楼d2→1400大型楼d3→2000万←Max·Max再从不同方案的最大值中取一最大值，为2000万，所对应的方案——大型楼方案d3为决策的最佳方案。52对各方案，先从不同状态的Vij中取一最小值者，得：最小值d1→700←Max·Mind2→500d3→-900再从不同方案的最小值中取一最大值，如700万，所对应的方案——小型楼方案d1为决策的最佳方案。3该方法认为，不同自然状态出现的概率彼此相等。在等概率原则下，则可分别先将各不同方案的所有自然状态的益损值求和，d1→800+700=1500d2→1400+500=1900万←Maxd3→2000-900=1100再从各方案的合计和值中取一最大值，如1900万，所对应方案d2的最佳方案。64该方法相似于保守方法，取悲观态度。首先从益损矩阵中求后悔值，即机会损失值RijRij=V*j-Vij(j=1,2,…,n)(i=1,2,…,m)式中V*j——对状态SjVij——状态Sj、方案di相应的益损值。由此，可得后悔值Rijs1s2d12000-800=1200700-700=0d22000-1400=600700-500=200d32000-2000=0700-(-900)=1600再分别对各方案，从不同自然状态的后悔值中取一最大者，d1→1200d2→600万←Mind3→1600然后从各方案的最大后悔值中选取一最小者，为600万，则它对应的方案d2为最佳方案。7二、风险决策方法(自然状态出现的概率已知)既然各种可能的自然状态出现的概率已经通过调研获得，则可以以此求各方案的期望益损值。令n——P(Sj)——自然状态Sj的概率。则有P(Sj)≥0，(j=1,2,…,n)各方案dj益损期望值为最大者对应的方案，可选为最佳方案。对本问题而言，若已知：P(S1)=0.8,P(S2)=0.2，有：EV(d1)=0.8×800+0.2×700=780EV(d2)=0.8×1400+0.2×500=1220EV(d3)=0.8×2000+0.2×(-900)=1420万可见，方案d3建大楼为最佳方案。1)(...)()()(211nnjjSPSPSPSPijnjjiVSPdEV*)()(18为了较形象直观地作出决策，也可应用决策树方式进行分析，决策树决策结点用□表示，由它生出方案枝；各方案枝分别生出状态结点，用○表示，由状态结点引出各种状态分枝，分枝末梢绘上相应的益损值。对本3142)(,)(,2211SPsSPs0.80.20.80.20.80.2)(,)(,2211SPsSPs)(,)(,2211SPsSPs80070014005002000-90078012201420d2d3d1首先计算出各个状态结点的期望值，从中选取一个最大期望值，往回找对应的方案，为最佳方案，如上图，④点最大，选d3方案为最佳方案。9§4.4灵敏度分析灵敏度分析是将自然状态出现的概率加以改变，来考察这一改变对决策方案选取将带来什么样的影响。比如：高的接受程度S1的概率降到0.2，低的接受S2的概率升为0.8，即P(S1)=0.2,P(S2)=0.8，EV(d1)=0.2×800+0.8×700=720EV(d2)=0.2×1400+0.8×500=680EV(d1)=0.2×2000+0.8×(-900)=-320可见，小楼方案d1为最佳，大楼方案为最差的。如果问题只涉及两种自然状态，则可以按以下方式求出各方案的临界设自然状态S1的概率P(S1)=P，则自然状态S2的概率P(S2)=1-P。按本问题的益损矩阵，EV(d1)=P×800+(1-P)×700=100P+700EV(d2)=900P+500EV(d3)=2900P-90010(1)当EV(d1)=EV(d2)时，即100P+700=900P+500可解得P=200/800=0.25(2)当EV(d2)=EV(d3)时，可解得P=0.7按此，用不同P值(P=0～1.0)从图可见，当高的市场接受状态的概率P0.25时，第一方案d1当0.25≤P≤0.7时,方案d2当P0.7时，方案d3最佳。0.20.40.60.81.02000150010005000-500-1000d1可得最大EV的P区间d2可得最大EV的P区间d3可得最大EV的P区间EV(d3)EV(d2)EV(d1)11§4.5前述两种自然状态出现的概率P(S1)=0.8，P(S2)=0.2，只是一种比较粗糙地调研而获得的自然状态的概率分布，也即是一种所谓先验概率。如果我们能够再深挖一些新信息，用以修正先验概率，最终获得一种所谓后验概率，用来进行决策，则决策的效果更好、更科学。一般讲，补充信息是可以通过对自然状态样本信息设计的实验方法来取得，包括原始资料的采样、产品检验、市场调研等等。比如：通过天气预报的验证信息，来修正天气状态的先验概率；通过产品检验的正确与否的信息，来修正产品的正、废品先验概率。对PDC问题来讲，可以通过市场调查，调查有多少比率的人有兴趣买楼，记为I1，有多少比率的人没有兴趣买楼，记为I2，则可以获得四个条件概率，记为：P(I1｜S1)，P(I2｜S1)，P(I1｜S2),P(I2｜S2)，它们也叫做似然函数。对PDC问题，经过调查，获得了下表的似然函数。自然状态有兴趣买楼，即支持者I1无兴趣买楼，不支持者I2高接受S1，P(S1)=0.8P(I1｜S1)=0.90P(I2｜S1)=0.10低接受S2，P(S2)=0.2P(I1｜S2)=0.25P(I2｜S2)=0.7512这个似然函数的意义是：在真正高接受者中核查为有兴趣(即支持建楼)买楼的概率为0.9，而不支持的为0.1；在真正低接受者中，核查为不支持的概率为0.75，反而支持的为0.25。这些补充信息是在明确了高、低接受者的条件下，进一步调查核实的信息，由此统计出的条件概率。有了先验概率和似然函数，可以运用贝叶斯全概率公式，计算出后验概率P(S｜I):I=1,2,…..n,k=1,2,…,m按以上数据，可算得其后验概率为：有兴趣(支持)买楼者I1的有关概率计算表niiKiiKiKiSIPSPSIPSPISP1)|()()|()()|(自然状态Si先验概率P(Si)条件概率P(I1｜Si)联合概率P(I1∩s1)P(Si｜I1)s10.80.10.720.9635s20.20.750.050.065自然状态Si先验概率P(Si)条件概率P(I1｜Si)联合概率P(I1∩s1)P(Si｜I1)s10.80.10.080.348s20.20.750.150.652没有兴趣(支持)买楼者I2的有关概率计算表13根据上列概率计算表，123987654高接受S1,P(S1|I1)=0.935低接受S2,P(S2|I1)=0.065高接受S1,P(S1|I1)=0.935低接受S2,P(S2|I1)=0.065高接受S1,P(S1|I1)=0.935低接受S2,P(S2|I1)=0.065高接受S1,P(S1|I2)=0.348低接受S2,P(S2|I2)=0.652高接受S1,P(S1|I2)=0.348低接受S2,P(S2|I2)=0.652高接受S1,P(S1|I2)=0.348低接受S2,P(S2|I2)=0.6528百万714520-98714520-9小型d1中型d2大型d3小型d1中型d2大型d3支持的，I1P(I1)=0.77支持的，I2P(I2)=0.7714可算出：状态结点④的EV=0.935×8+0.065×7=7.935状态结点⑤的EV=13.416状态结点⑥的EV=18.118……状态结点⑦的EV=0.348×8+0.652×7=7.348状态结点⑧的EV=8.130……状态结点⑨的EV=1.086，应选d3，应选d2方案。结论是：当市场报告是支持建楼，I1时，应建大型楼；当市场报告是不支持，I2时，应建中型楼。2315§4.5效用与风险分析(UtilityandRiskAnalysis)以前所述的决策分析方法是按照最好的货币期望值选择方案，但在决策分析中除了要考虑方案的货币益损因素以外，还要考虑风险程度，包括决策人对待风险的态度这一主观偏好因素。因而，往往单从货币益损期望值选择的方案，不一定是最佳方案。本节将介绍决策分析中的期望效用。所谓效用是一种特定结果的总价值的相对尺度，它反映决策者面对诸如利润、损失和风险等因素集合的态度。一般在一些技术较复杂、投资费用较大，开发周期较长的项目中，往往存在许多不确定因素。如前所述如果可以给出这些不确定因素的概率分布，最常用的决策方法是采用益损期望值、其方差和效用函数来进行分析。案例：某公司有一投资项目，有3个投资方案A、B、C，这三个方案的经济收益取决于今后两年的经济状态，经济状态估计为三种及其概率为：好(0.3)；中(0.5)；差(0.2)。投资方案经济状态及其概率，收益(万元)好，0.3中，0.5差，0.2A18001500800B160012001000C2000160090016各方案的收益期望值Vi，其均方差σi和方差系数γi可按下列公式计算：iiiiijnjjiijnjjiVVVPVPV211)(,式中方差系数γ，又称风险系数，因为均方差σ是收益风险的一种测度。按上表的数据，VA=1450,σA=350,γA=0.2414VB=1280,σB=223,γB=0.1742VC=1580,σC=382,γC=0.2418从这些结果看，三个方案中没有一个占绝对优势，即没有一个方案既有较大的收益期望值，同时又有较小的均方差和方差系数。因此，无法确定最佳方案，需要进一步分析。为此，可根据效用理论来权衡。效用函数U(x)是一种相对度量尺度，0≤U(x)≤1，或者0≤U(x)≤10，其中x对本问题而言是收益期望值。效用函数U(x)值的确定方法较多，其中常用的一种方法是标准博奕法，即针对具体决策问