独立重复试验与二项分布

2015-6-3复习引入前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.(1)()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；那么还有那些概率模型呢？1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。问题上面这些试验有什么共同的特点？提示：从下面几个方面探究：（1)实验的条件；（2）每次实验间的关系；（3）每次试验可能的结果；（4）每次试验的概率；（5）每个试验事件发生的次数引入：观察下面的试验1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。问题上面这些试验有什么共同的特点？引入：观察下面的试验①包含了n个相同的试验；②每次试验相互独立；5次、10次、6次、5次③每次试验只有两种可能的结果：“发生”或“不发生”1.投掷一枚相同的硬币5次,每次正面向上的概率为0.5。2.某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。3.某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。4.口袋内装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。问题上面这些试验有什么共同的特点？引入：观察下面的试验④每次出现“发生”的概率相同，为p，“不发生”的概率也相同，为1-p；⑤试验”发生”或“不发生”可以计数，即试验结果对应于一个离散型随机变量.特点：1).每次试验是在同样的条件下重复进行的;2).各次试验中的事件是相互独立的；3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生；4).每次试验某事件发生的概率是相同的；5).每次试验，某事件发生的次数是可以列举的.（一）形成概念1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验注意⑴独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验(即各次实验的结果不会受到其他实验结果的影响)；⑵每次试验只有“发生”或“不发生”两种可能结果；每次试验“发生”的概率为p，“不发生”的概率为1-p.（一）形成概念1212nnPAAAPAPAPA()()()()判断下列试验是不是独立重复试验：1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2).某射击手每次击中目标的概率是0.9，他进行了4次射击，只命中一次；3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球;4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出4个白球。不是是不是是注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验5).我们班篮球队5个同学罚球时，依次每人罚球一个，一共罚球5个。不是体委每次罚球命中的概率为p，罚不中的概率是q=1-p.在连续3次罚球中体委恰好命中1次的概率是多少？那么恰好命中0次、2次、3次的概率是多少?你能给出一个统一的公式吗？探究：用Ai(i=1,2,3)表示第i次命中的事件B1表示“恰好命中1次”的事件3213213211AAAAAAAAABpqpqpqpqAAAPAAAPAAAPBP222232132132113　　　＝恰好命中k（0≦k≦3）次的概率是多少？（二）构建模型对于k=0,1,2,3分别讨论33210qAAAPBPpqAAAPAAAPAAAPBP232132132113232132232123qpAAAPAAAPAAAPBP33213pAAAPBP3,2,1,0,33kqpCBPkkkk03003qpC13113qpC23223qpC33333qpC恰好命中k（0≦k≦3）次的概率是多少？在n次试验中，有些试验结果为A，有些试验结果为A，所以总结果是几个A同几个A的一种搭配，要求总结果中事件A恰好发生k次，就是k个A同n－k个A的一种搭配，搭配种类为Ckn；其次，每一种搭配发生的概率为pk·(1－p)n－k，所以P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.（二）构建模型2、二项分布概率模型：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作:X~B(n,p),并称p为成功概率。X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq（二）构建模型分析公式的特点：()(1)kknknPXkCPP（1）n,p,k分别表示什么意义？（2）这个公式和前面学习的哪部分内容有类似之处？1k恰为展开式中的第项nPP])1[(kknknkPPCT)1(1在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p（三）模型辨析二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnN⑵如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn（三）模型辨析假设体委在投篮时命中的概率是0.8.求他在10次投篮中，(1)恰有8次命中的概率;(2)至少有8次命中的概率;(3)要保证命中的概率大于0.99，至少他要投篮多少次.(结果保留两个有效数字)（四）模型应用【分析】由于10次投篮是相互独立的重复试验，且结果只有两种(或命中或未命中)，符合独立重复试验模型．解：设X为命中的次数,则X~B(10,0.8)(1)在10次投篮中,恰有8次命中的概率为(2)在10次投篮,至少8次命中的概率为10988XPXPXPXP1081098899101010101010100.810.80.810.80.810.80.68CCC30.08.018.088108810CXP(3)设至少投篮n次保证命中的概率大于0.99命中101(10.8)10.20.992.86故至少投篮3次.nnPPXn【思维总结】解答此类题目，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用P(X=k)＝Cknpk·(1－p)n－k计算即可．判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一.(2)重复性,即试验独立重复地进行了n次.(3)随机变量是事件发生的次数.（五）提炼步骤应用二项分布模型解决实际问题的步骤：（1）判断问题是否为独立重复试验；（2）在不同的实际问题中找出概率模型中的n、k、p；（3）运用公式求概率。例2、设一篮球队员平均每投篮10次命中4次，求在五次投篮中①命中一次，②第二次命中，③命中两次，④第二、三两次命中，⑤至少命中一次的概率．由题设，此队员投篮1次，命中的概率为0.4．①n＝5，k＝1，应用公式得②事件“第二次命中”表示第一、三、四、五次命中或命不中都可，它不同于“命中一次”，也不同于“第二次命中，其他各次都不中”，不能用公式．它的概率就是0.4．③n＝5，k＝2，解：.2592.0)1()1(415ppCXP2235(2)(1)0.3456.PXCpp运用n次独立重复试验模型解题＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024＝0.92224．()(1)(2)(3)(4)(5)PBPXPXPXPXPX④“第二、三两次命中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为0.4×0.4＝0.16．⑤设“至少命中一次”为事件B，则B包括“命中一次”，“命中两次”，“命中三次”，“命中四次”，“命中五次”，所以概率为例2设一篮球队员平均每投篮10次命中4次，求在五次投篮中①命中一次，②第二次命中，③命中两次，④第二、三两次命中，⑤至少命中一次的概率．1(0)PX解：运用n次独立重复试验模型解题例3实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．运用n次独立重复试验模型解题【分析】由于每局比赛是相互独立的，且结果只有两种(或甲胜或乙胜)，符合独立重复试验模型．(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216PC.小结：1、n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。展开式中的第项.()()kknknnnPkcpqpq是1k