八年级下册数学第一章《二次根式》讲义

1【八年级下册数学《二次根式》讲解】1、二次根式：一般地，式子)0a(,a叫做二次根式.注意：若0a这个条件不成立，则a不是二次根式；a是一个重要的非负数，即；a≥0.例1：求下列二次根式中字母a的取值范围：解：（1）由a+1≥0得，a≥-1∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数（2）由a211＞0，得1-2a＞0.即a21,∴字母a的取值范围是小于21的实数（3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0,所以a的取值范围是全体实数练习：求下列二次根式中字母a的取值范围：例2：当x=-4时，求二次根式的值解：将x=-4代入二次根式得=9=3练习：[1、若二次根式的值为3，求x的值.纪教育网2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.（1）把这个公式变形成用h表示t的公式（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?2、二次根式：（1）定义：)0(aa（2）两个基本性质：①)0()(2aaa②12x12x2x2113;2;31.3aaa2例题3：；_____72；_____212。0_____2mm练习：，______22=_______,，______02，）（______312例题4：计算：（1）；221510（2）222222（3）325432532能力拓展：化简：（4）24)(xb（b0，x0）3、积的算术平方根的性质。积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．即)0,0(babaab4、商的算术平方根的性质。商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）。即baba).0,0(ba)0b,0a(baba；例题5：化简：；）；（）；（）；（）（72495374222512112例题6：化简：(1)43nm(m0);(2)244xx(x2);(3)2)(25yxyx(x≥y0);(4)22)4()3(xx3知识点一:二次根式的概念1、一个正方形的面积为a,则它的边长可表示为()A.2aB.21aC.aD.2a2、判断下列代数式中，哪些是二次根式？.)3()7();0()6(;22)5(;1)4(;9)3(;16)2(;21)1(222mxxaaxa答：_______________________________________.知识点二:二次根式中被开方数所含字母的取值范围3、若32a是二次根式,则字母a应满足的条件是()A.23aB.23aC.23aD.23a4、(1)当a满足__________时,a2有意义.(2)当21a有意义时,a的取值范围是_________________.5、若xx有意义,则x的取值范围是____________.6、使式子x4有意义且取得最小值的x的取值是.知识点三:求二次根式的值7、当x=-2时,二次根式x212的值为_______.8、（2010年嘉兴市）当2x时，代数式1352xx的值是。9、(2010年荆门市)化简11xx=______.10、(2010年荆门市)若a、b为实数，且满足|a－2|＋2b＝0，则b－a的值为.11、（2010年义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）12、求下列二次根式中字母x的取值范围:(1)12x;(2)32x;(3)52x;(4)xx22;(5)11xx;(6);xx22网ABC30°第11题图413、已知081ba,则a-b的值是多少?知识点四:二次根式积的性质14、公式ab=ba(a≥0,b≥0)用文字语言来叙述为:__________________________________.15、(1)169196=______;(2)243=_______;(3)49.001.0=_________;(4)2253=____________;16、下列运算正确的是（）A.2254=25-24=5-4=1;B.(16)(25)=16×25=-4×（-5）=20C．22512()()1313=513+1213=1713;D．247=24×7=4717、使等式)2(xx=x2x成立的x的取值范围是()21世纪教育网A.x≠2B.x≥0C.x2D.x≥2知识点五:二次根式商的性质18、公式ba=ba(a≥0,b≥0)用文字语言来叙述为:__________________________________.19、(1)259=________;(2)92=______;20、能使等式3aa=3aa成立的a的取值范围是__________.21、下列化简错误的是（）A.59=59=53B.0.010.49=0.01×0.49=0.1×0.7=0.07C.27=27=1714D．1149=1·149=1×17=17知识点六:二次根式的化简21世纪教育网[来源:21世纪教育网]22、(1)40=_____;(2)0.001=________;(3)(18)(24)=_____;（4）58=________；(5)211=______.523、(2010年嘉兴市)设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（）A．ab＝a·bB．ab＝a＋bC．(a)2＝aD．ab＝ab24、(2010年太原市)23xx=x1x成立,则x的取值范围是()A．x≥0B．x0C．x≥1D．x125、化简：1691214;35(2.510)(1.610);16125;2(4)+2(3);2(23)+2(23)．223449．26、实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简222)(baba27、计算：2(12)+2(23)+2(34)+…[phone])=。28、如果2(5)a+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长．29、观察下列等式:(1)211=21;(2)522=252;(3)1033=3103;(4)1744=4174根据你发现的规律填空:(1)第5个等式是_________________;(2)第n个等式是__________________;【第二章一元二次方程1】1、认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为20axbxc(,,abc为常数，0a)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：①方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。②只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2次。2、一元二次方程的一般形式：一般形式：20axbxc(0a)，系数,,abc中，a一定不能为0，b、c-101ab第15题图6则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：①如果0,0bc，则得20axc，例如：2320x；②如果0,0bc，则得20axbx，例如：2340xx；③如果0,0bc，则得20ax，例如：230x；④如果0,0bc，则得20axbxc，例如：23420xx。其中，2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。3、一元二次方程的解法：（1）直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：2()xab（2）配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()aabbab，将原方程配成2()xab的形式再用直接开方法求解.）（3）公式法：（求根公式：242bbacxa）（4）分解因式法：（理论依据：0ab，则0a或0b；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）例题1：1、一元二次方程3x2＝5x－1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是2、22___)(_____8xxx22____)(_____4xxx3、方程0162x的根是；方程0)2)(1(xx的根是；方程x2－x＝0的根是；方程x(x＋3)＝x＋3的根是。例题2：1．当m=__时，关于x的方程22330xxm有一个根为0.2．如果1是关于x的方程22230xkxk的根，那么k的值为.3．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根是1，则a+b+c=.4．如果n是关于x的方程x2+mx+n=0的根，且n≠0，则m+n=.例题3：解下列方程（1）（y＋3）（1－3y）＝1＋2y2；（2）（x－7）（x＋3）＋（x－1）（x＋5）＝38；7（3）（3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0；（4）x2＋ax－2a2＝0.（a为已知常数）例题4：（1）已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值；（2）已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值.学生练习：1、用公式法求解：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a),(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。⑴2x2-8x+5=0⑵3x2+7x+1=0⑶x2-6x+7=0⑷x2+5x+1=0⑸4x2-9x+3=0⑹x2+9x+3=02、用配方法求解①用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)②先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c③将二次项系数化为1：x2+b/ax=-c/a④方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+(b/2a)2=-c/a+(b/2a)2⑤方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a)2=-c/a+(b/2a)2⑥当b2-4ac≥0时，x+b/2a=±√﹙﹣c/a﹚﹢(b/2a)2⑴3x2-4x-2=0⑵x2-6x=1⑶4x2-9x=-3⑷x2+9x=3⑸x2-5x=-1⑹6x2-8x+1=083、用直接开方法求解：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±√n+m.⑴（x-2)2=9⑵9x2-24x+16=11⑶4x2-12x=11⑷（x+4)2.+8=9⑸8x2=24⑹(2x-3)2=164、用因式分解法求解：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。⑴(x+2)2=3x+6⑵-2x2+13x-15=0⑶2x2+3x=0⑷(x+3)(x-6)=-8⑸4(x-3)2=x(x-3)⑹x2-3x-4=0