概率论-课程笔记

笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】1概率论第一课一、无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C42×C32C74例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C52×C63C115二、有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？2P=(2+3)!2!3!(511)2(611)3例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？P=(50+51)!50!51!(25)50(35)51三、需要画图的题目例1：已知0x1，0y1，求xy的概率是多少？P(xy)=③①=123例2：已知−1x1，−1y1，求x²+y²1的概率是多少？P(x2+y21)=S圆S正=π×124=π4四、条件概率例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？设事件A：得60分以上，事件B：得80分以上P(B|A)=P(AB)P(A)=80％85％=1617例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？4事件A：今年没有发生洪水事件B：明年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85％−80％1−80％=5％20％=14五、全概率公式例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.00845例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％六、贝叶斯公式例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)P(有客车故障)6=20％·0.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)=P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50％·1％50.5％=11011概率论第二课一、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一项，求另一项例1：设X的分布函数𝐅𝐗(𝐱)={𝟎，𝐱𝟏𝐥𝐧𝐱，𝟏≤𝐱𝐞𝟏，𝐱≥𝐞，求X的密度函数𝐟𝐗(𝐱)。fX(x)=FX′(x)={0′，x1(lnx)′，1≤xe1′，x≥e={0，x11x，1≤xe0，x≥e={1x，1≤xe0，其他例2：设X的密度函数𝐟𝐗(𝐱)={−𝟏𝟐𝐱+𝟏，𝟎≤𝐱≤𝟐𝟎，其他，求X的分布函数𝐅𝐗(𝐱)。fX(x)={−12x+1，0≤x≤20，其他={0，x0−12x+1，0≤x≤20，x2当x2时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=∫fX(x)dx0−∞+∫fX(x)dx20+∫fX(x)dxx2=∫0dx0−∞+∫(−12x+1)dx20+∫0dxx2=0+1+0=1当0≤x≤2时，2FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=∫fX(x)dx0−∞+∫fX(x)dxx0=∫0dx0−∞+∫(−12x+1)dxx0=−x24+x当x0时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=∫0dxx−∞=0FX(x)={0，x0−x24+x，0≤x≤21，x2二、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一种，求P例1：设X的分布函数𝐅𝐗(x)={𝟎，𝐱𝟏𝐥𝐧𝐱，𝟏≤𝐱𝐞𝟏，𝐱≥𝐞，求概率P(𝐱𝟐𝟒)P(x24)=P(−2x2)=FX(2)−FX(−2)=ln2−0=ln2例2：设X的密度函数𝐟𝐗(x)={−𝟏𝟐𝐱+𝟏，𝟎≤𝐱≤𝟐𝟎，其他，求概率P(−1x2)3P(−1x2)=∫fX(x)dx2−1=∫fX(x)dx0−1+∫fX(x)dx20=∫0dx0−1+∫(−12x+1)dx20=0+1=1三、𝐅𝐗(x)或𝐟𝐗(x)含未知数，求未知数例1：设X的分布函数𝐅𝐗(x)={𝟎，𝐱≤𝟎𝐚+𝐛𝐞−𝛌𝐱，𝐱𝟎(λ0)，求a和b。FX(+∞)=1⇒a+be−λ·(+∞)=1⇒a+be−∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1F上(0)=F下(0)⇒0=a+be−λ·(0)⇒0=a+be0⇒a+b=0{a=1a+b=0⇒{a=1b=−1例2：设X的密度函数𝐟𝐗(x)={𝐚𝐱+𝟏，𝟎≤𝐱≤𝟐𝟎，其他，求常数a。∫fX(x)dx+∞−∞=1⇒∫fX(x)dx0−∞+∫fX(x)dx20+∫fX(x)dx+∞2=1⇒∫0dx0−∞+∫(ax+1)dx20+∫0dx+∞2=1⇒0+2a+2+0=14解得a=−12四、求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。X可能的取值为3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：五、已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。5120+320+310+k=1解得k=121概率论第三课一、已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=𝐗𝟐+1的分布列。X−202P0.40.30.3根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=(−2)2+1=5Y=02+1=1Y=22+1=5将表格里X那一列对应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X−1的分布列。X3456P120320310122根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=2×3−1=5Y=2×4−1=7Y=2×5−1=9Y=2×6−1=11将表格里X那一列对应换成YY57911P12032031012也可以表示成：Y~(5791112032031012)二、已知𝐅𝐗(𝐱)，求𝐅𝐘(𝐲)例1：设X的分布函数为𝐅𝐗(𝐱)={𝟎，𝐱≤𝟎𝐱𝟐，𝟎𝐱𝟏𝟏，𝐱≥𝟏，求Y=2X的分布函数。Y=2X⇒X=Y23FX(y2)={0，y2≤0(y2)2，0y211，y2≥1FY(y)=FX(y2)={0，y≤0y24，0y21，y≥2例2：设X的分布函数为𝐅𝐗(𝐱)={𝟎，𝐱≤𝟎𝐱𝟐，𝟎𝐱𝟏𝟏，𝐱≥𝟏，求Y=−X的分布函数。Y=−X⇒X=−YFX(−y)={0，−y≤0(−y)2，0−y11，−y≥1FY(y)=1−FX(−y)={1，y≥01−y2，−1y00，y≤−14三、已知𝐟𝐗(𝐱)，求𝐟𝐘(𝐲)例1：设X的密度函数为𝐟𝐗(𝐱)={𝟏，𝟎𝐱𝟏𝟎，其他，求Y=2X的密度函数。Y=2X⇒X=Y2fX(y2)={1，0y20，其他fY=(y2)′·fX(y2)=12·fX(y2)={12，0y20，其他fY(y)=fY={12，0y20，其他1概率论第四课一、符合均匀分布，求概率例1：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。PX的取值大于3=23例2：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。PX的取值小于3=13二、符合泊松分布，求概率例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。求在一分钟内呼叫次数为2次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数P(X=2)=522!e−5=0.0842例2：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数2P(X≤6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=500!e−5+511!e−5+522!e−5+533!e−5+544!e−5+555!e−5+566!e−5=0.7622三、符合二项分布，求概率例1：重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。P(X=3)=C53(12)3(1−12)5−3=516例2：在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次的概率。P(X=2)=C32(23)2(1−23)3−2=49四、符合指数分布，求概率例1：某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从λ=𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎的指数分布。求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。3X的密度函数为f(x)={12000e−x2000，x00，x≤0(1)P(X1000)=∫f(x)+∞1000dx=∫12000e−x2000+∞1000dx=e−0.5(2)P(1000X2000)=∫f(x)dx20001000=∫12000e−x200020001000dx=−e−1+e−0.5五、符合正态分布，求概率例1：设随机变量X服从正态分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5X3.5)；(2)P(X3.5)。[其中：Φ(0)=0.5，Φ(0.75)=0.7734，Φ(1)=0.8413，Φ(2.25)=0.9878]μ=1.5，σ=√4=2(1)P(1.5X3.5)=Φ(3.5−1.52)−Φ(1.5−1.52)=Φ(1)−Φ(0)=0.3413(2)P(X3.5)=Φ(3.5−1.52)=Φ(1)=0.8413六、正态分布图像例1：4例2：例3：5常见分布的其他表示方法均匀分布U[a,b]二项分布B[n,p]指数分布E(λ)正态分