球面距离计算公式的推导及举例

1球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心，⊙O为过A、B的大圆，⊙O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设2AOB，2BOA，球半径为R，半径为r．则有AB大圆弧长RL2，AB小圆弧长rl2raRrRlL22（1）但sin2sin2rRAB，即sinsinrR（2）将（2）代入（1）得sinsinsinsinalL（3）∵rR，由（2）式知.由于20，故只需证明函数xxxfsin在2.0内为单调递减即可.∴0tancossincos22xxxxxxxxxf,∵当2,0x时，有xxtan）∴xf在2,0单调递减,由（3）式不难得到1lL，即lL.故大圆劣弧最短。球面距离公式：设一个球面的半径为R，球面上有两点11,A、22,B.其中1，2为点的经度数，1、2为点的纬度数，过A、B两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有]sinsincoscosarccos[cos212121（弧度）A、B间的球面距离为：]sinsincoscosarccos[cos212121RRL证明：如图1，⊙1O与⊙2O分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过B、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作AE面BCO2，垂足E位于CO2上，连结EB、AB.则2212212OOOOOOAE221sinsinRR2212sinsinR在BEO2中，由余弦定理，得：212222222cos2BOEOBOEOBE21212221cos2BOAOBOAO21212221coscoscos2coscosRRRR2]coscoscos2coscos[112122122R故]coscoscos2sinsin22[2121212222RBEAEAB又cos122sin42sin222222RRRAB，比较上述两式，化简整理得：212111sinsincoscoscoscos，从而可证得关于与L的两个式子.计算球面距离的三种类型现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1已知A，B两地都位于北纬45，又分别位于东经30和60，设地球半径为R，求A，B的球面距离．分析：要求两点A，B的球面距离，过A，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB的大小（见图1），而要求AOB往往首先要求弦AB的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解：作出直观图（见图2），设O为球心，1O为北纬45圈的圆心，连结OA，OB，AO1BO1，AB．由于地轴NS平面BAO1．∴1OAO与1OBO为纬度45，BAO1为二面角BOOA--1的平面角．∴3030601BAO（经度差）．Rt△1OAO中，RROAOOAAO2245coscos11．△ABO1中，由余弦定理，BAOBOAOBOAOAB11121212cos222223230cos222222222RRRRR．△OAB中，由余弦定理：43222322cos2222222RRRROBOAABOBOAAOB，∴21AOB．∴AB的球面距离约为RR60721180．2．位于同一经线上两点的球面距离例2求东经57线上，纬度分别为北纬68和38的两地A，B的球面距离．（设地球半径为R）．解：经过BA、两地的大圆就是已知经线．303868AOB，618030RRAB．33．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3A地位于北纬30，东经60，B地位于北纬60，东经90，求A，B两地之间的球面距离．（见图4）解：设O为球心，1O，2O分别为北纬30和北纬60圈的圆心，连结OA，OB，AB．\Rt△AOO1中，由纬度为30知301OAO，RROAOOAOO2130sinsin11,RROAOOAAO2330coscos11．Rt△BOO2中，602OBO，∴RROO2360sin2，260cos2RRBO,∴RRROOOOOO21321231221．注意到AO1与BO2是异面直线，它们的公垂线为21OO，所成的角为经度差306090，利用异面直线上两点间的距离公式．cos22122122212BOAOOOBOAOAB（为经度差）2222432530cos212322132123RRRRRR．△AOB中，RRRRROBOAABOBOAAOB243252cos2222228205.08323．∴35AOB．∴AB的球面距离约为RR36735180．