理论力学第三章-刚体力学-2

第三章刚体力学•刚体运动方程与平衡方程•刚体的定轴转动•刚体的平面平行运动•刚体的定点转动§3.3刚体的平动与绕固定轴的转动一、刚体的平动运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。结论：由于各质点运动情况相同(位移、速度和加速度)，所以可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整体运动，由质心运动定理(固定坐标系中)ceirmFxoyzxzyo平动xoyzxzyo转动二、刚体定轴转动②刚体上每一点都在与转轴的垂直平面内做圆周运动。③每个质点的线位移、线速度和线加速度不同，但有相同的角位移、角速度和角加速度。2、速度，加速度①速度：iiriiiiRrsin①一个自由度，用角坐标描述刚体位置很方便。1、运动分析动坐标系oxyz②加速度()()iiiiiiiiiddrddarrdtdtdtdtrrr其中:是角加速度定义：iiiarR切向加速度法向加速度22()iniiiiiarRRBCBCACBAA其中，3、动量矩在普通物理力学中学过，刚体绕定轴转动的动量矩：zzzIJ是沿转轴方向，为了进一步了解定轴转动的实质，并同时向定点转动过渡，我们从普遍意义上导出定轴转动刚体的动量矩。第i个质点的位矢：)]([)(111iniiiiiniiiiniiorrmrmrmrJkzjyixriiii设：刚体绕oz轴转动，则：k则刚体对点o的动量矩为：])([])()[(])([)]([1221222121niiiiiiiiniiiiiiiiiiiniiiiniiiokyxjzyizxmkzjyixzkzyxmrrrmrrmJBCBCACBAA其中，zzniiiiozniiiioniiiioIyxmJzymJzxmJ1221y1x)(kJJoz结论：刚体对转轴上o点的动量矩一般并不沿转轴方向，zzzIJ仅为在转轴方向的分量。oJ4、动能，势能及机械能守恒①动能：2222222121)sin(21))((2121zziiiiiiiiiiIdmrmrrmmT②势能：ciimgygymV（刚体的势能等于质心的势能）③若作用在刚体上的外力均为保守力，或有非保守力但不做功，则机械能守恒EVIzz2215、运动微分方程zzzzzMdtIdMdtdJ)(zzzMdtdI即：zzzMIzzI而为常量，有刚体定轴转动的转动定律解：刚体受重力和轴的支撑力作用，重力对oz轴的力矩为：sinmglMz根据定轴转动的转动定律zzzImglMsin对微小振动，很小，从而，得sin0zzImgl复摆作简谐振动支撑力通过转轴y【例4】一复摆如图所示，物体在重力作用下绕过o点的轴摆动，设刚体对oz轴的转动惯量为Izz,质心为C,对质心转动惯量Icz,,求复摆的周期。lOC运动学方程为00costImglAzz振动周期为mglITzz22分析：单摆小角度运动微分方程：000:cos():,zzzzgLgAtLImglgLILml其解为令得yLOOO由平行轴定理：2,zzczIIml代入上式2cz()czImlILlllOOmlml等值单摆长由上式可知，如果把复摆的全部质量都集中到O´点，这样一个单摆和复摆的运动规律一样，称O´为振动中心。复摆OO单摆yO说明：（1）用复摆测量重力加速度，由于悬点O和O´可以互换，而不改变复摆的运动规律，利用此关系可以准确测定重力加速度。（2）O´点为打击中心，冲力对O点无冲击效应。Ft注意：只要找到具有相同周期的两点O和O´，就可测得等值单摆长L，然后用下式计算重力加速度224LgT作业-2定轴转动P1753.10；3.11；3.12§3.4刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动:刚体运动时，刚体内每个点的轨迹都是一条平面曲线，各曲线所在平面都某一固定平面平行。一、刚体平面平行运动学1、什么叫平面平行运动运动刚体上任意一点的轨迹始终在和某一固定平面平行的平面内，称刚体的这种运动叫平面平行运动。AA纯平动AA纯转动②一平面图形在某一固定平面内的位置可由该平面图形上一直线表示，因此，平面图形做平面运动的问题可简化为一直线段做平面运动的问题。③s=3（在平面内确定一直线段需三个独立坐标）④直线在平面内的任意运动，可分解为平动和转动。①做平面平行运动的刚体上与固定平面相平行的所有平面的运动规律是相同的，取任意一个平行截面就可以代表刚体的运动，因此可以把刚体做平面平行运动的问题，简化为一个平面图形做平面平行运动的问题。2、运动分析结论：刚体的平面平行运动可以分解为以基点为代表的平动和绕基点的转动，其中平动位移与基点选择有关，而转动角位移与基点的选择无关。注意：所谓绕基点的转动是指绕过基点且垂直于平面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转轴。AAAA3、运动学方程由以上运动分析可知，运动学方程可由基点的运动方程和绕基点定向转轴转动方程组成，即：()()()AAAAxxtyytt4、速度、加速度⑴速度由运动分析可知，做平面平行运动刚体上任意一点P的速度等于基点的速度+该点绕基点转动的速度之和。以基点为S´系原点，建立平面转动参照系，则任意一点的速度：zxyoAPrArrSSzxy---固定坐标系AxyzOxyz---刚联于刚体的动坐标系a.合成法vvvArvA()()xAxAyAyAyyxx在动系中（向S´系投影）：yxAAAxAyij()rkxiyjxjyixAxyAyyxzxyoAPrArrSSzxyArjyixr转动瞬心：做平面平行运动刚体上瞬时速度为0的点叫做转动瞬心，记为c。因此刚体的平面平行运动，可以看成是在每个瞬时绕瞬心轴的定轴转动，这个定轴不是真正的定轴。b.瞬心法说明：①瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；②瞬心的速度为零③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直于瞬心c与该点p的连线CP。CPp瞬心的求法方法一：由刚体上任一点速度公式求。()0()0xAxAyAyAyyxxAr()AyCAAxCAxxxSyyy系中00()xAxyAyAyCAxCyxxxSyy系中方法二：几何法A、已知刚体中两点A、B速度方向B、已知一点的速度及CAAAAC垂直向里C、无滑动滚动(纯滚动）时的接触点即为转动瞬心空间极迹，本体极迹⑴空间极迹，刚体运动时，瞬心交替变换，瞬心和固定平面相垂直的各点在固定平面上(固定坐标系中)描绘的轨迹叫空间极迹。⑵本体极迹：刚体运动时，瞬心在刚体内(运动坐标系中)所描绘的轨迹。潘索定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在作平面运动时，本体极迹将沿空间极迹无滑动地滚动着。用瞬心求速度的公式取瞬心c为基点，则rrcc.速度投影定理刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影相等。()AAddddddrarrdtdtdtdtdtdt()Adarrdt22()AAdarrrdtdarrdtAa基点加速度drdtP相对于基点A的切向加速度2rP相对于基点A的向心加速度⑵加速度BCBCACBAA其中，0【例5】设椭圆规尺AB的端点A与B沿直线导槽ox及oy滑动，B以匀速度c运动，求椭圆规尺上M点的速度、本体极迹与空间极迹的方程式。①确定瞬心的位置C。②求AB杆绕Cz轴转动角速度。方法一：用瞬心法求速度。Crr③求速度。sin)(bacCBB2222222sin)(cossinctgbabacbacbaCMM注：不能用瞬心法求加速度方法二：基点法：①确定B点为基点（运动已知点）。②建立坐标oxyz。③运用速度合成。MBr其中：Bcjksincosrbibj而：第一章已求出）(sin)(bac(sincos)Mcjkbibjsincoscjbjbibcacctgijabab大小：222Mcabctgabbccbctgicjjabab空间极迹固定不动而本体极迹随刚体转动而转动。在某一时刻，两个极迹必有一切点。空间极迹：222)(cos)(sin)(bayxbaybax本体极迹：2222]/)[(bayx作业-3平面平行运动之运动学P1763.15；3.16（选作）；3.18（选作）二、刚体平面平行运动动力学CmrF固定坐标系中2、若外力都是保守力或非保守力不做功，则机械能守恒：EVImczc2221211、动力学方程在动力学问题中，通常取质心为基点，则刚体的平面平行运动=质心的平动+绕质心轴的转动，此时可运用第二章中学过的质心运动定理和绕质心轴转动的动量矩定理，得刚体平面平行运动动力学方程。＋约束方程czzIM平动质心坐标系中平动转动xy【例6】解法二：用机械能守恒定律求圆柱质心的加速度分析做功：只有重力做功由机械能守恒得EVT(1)其中，kmkxmIxmTczzc回转半径为2222221212121为零势能点OcmgxVsin由约束方程axc(2)axcEmgxxakmccsin121222(3)(3)式对t求导得221sinakgxc该方法的缺点是：无法求出约束反作用力解法三：用对瞬心P的动量矩定理P由平行轴定理22mamkIPz根据对瞬心P的动量矩定理sin22mgakam22sinkaga221sinakgaxc约束方程22ka薄圆柱壳0k质量集中到转轴上【例7】沿加速平板表面的纯滚动在水平板上放一半径为R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度a，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。解：以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则动力学方程为225ccfmamafRmRaRxyoNfmamgCcaa由以上三式解得：5277caa,fma因此，球心的加速度为5277ccaaaaaaTmgymATrmr221AAyryrmgT31gaA32解：由质心运动定理：由绕质心轴的转动定理：约束方程：解之得：补充例题：质量为m半径为r的均质实心圆柱A,绕以轻绳,绳的一端固定，圆柱由静止开始沿绳竖直下落，求当圆柱下落高度h时,质心轴的加速度及绳子的张力。Tmgxyoxyc(1)(2)(3)解法二：质心运动定理和机械能守恒分析做功：只有重力做功Tmgxyoxyc000ccccdrdr