理论力学课件--第二章质点组力学.

本章重点研究内容〈一〉质心及质心运动定理〈二〉动量定理及其守恒律〈三〉动量矩定理及其守恒律〈四〉动能定理、机械能守恒律〈五〉两体问题、变质量问题§2.1质点组的基本概念一、质点组的内力和外力质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统。内力：质点组内质点间的相互作用力。外力：质点组外的物体对质点组内质点的作用力。ABCDF合力：质点组所受所有的内力和外力之和。◆质点组中的诸内力的矢量和必等于零，即0111)(ninijjijifF◆质点组的所有内力对任一参考点的力矩的矢量和恒为零。ijjijijijijifrfrfrfr0)(ijijijjifrfrroirjrijrijfjif其中:ijr是质点pi相对pj的位矢,与共线。ijf0)(111)(0ninijjijiifrM孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。二、质心1.质心概念的必要性★逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算。★内力一般是未知量从而问题更复杂。2.质点组研究方法从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究。简言之，质心就是质点组的质量等效中心。假定有n个质点，质量分别是,位于诸点，这些点对参考点O的位矢是则质心C对此参考点O的位矢满足以下关系：3.质点组质心的定义nmmm,,21nPPP,,21nrrr,,21crniiniiicmrmr11直角坐标分量式:niiniiicmxmx11niiniiicmymy11niiniiicmzmz11◆满足叠加原理◆若为质量连续分布的体系，则212121mmrmrmrcccdmdmrrccydmydmcxdmxdmczdmzdm在直角坐标系中【说明】（1）如果质心恰好在坐标原点，则质心位矢为011niiniiicmrmr01iniirm（2）当密度为常数时，质心和几何中心重合；当重力加速度为常矢量时，质心与重心重合。g重心：质点系所受重力的合力的作用点。（3）对于只有两个质点所组成的质点组而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、2的质量。例1一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（dh）的共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。OO1V2VZR解：具有线性关系的量都满足叠加原理。底面半径为r、高为h的正圆锥体的体积是32h/rV若圆锥体是均匀的，则其质心位于轴z上，距离底面h/4处，由叠加原理，可得凹底圆锥体的质心离底面的距离为)(414144dhvVvdVhmmdmhms4)3(dhshzc§2.2动量定理与动量守恒律一、动量定理假设由n个质点所组成的质点组，其中某一个质点的质量为mi，对某惯性参考系坐标原点O的位矢为，作用其上的诸力的合力为ir)()(eiiiiFFF质点pi的运动微分方程)()(22eiiiiiFFdtrdm（）ni,,3,2,1)(1)(1221einiiiniiiniFFdtrdm)(1221einiiiniFdtrdm其中为质点组的动量，等于质点组诸质点动量的矢量和。或而dtpdrmdtddtrdminiiiini)(1221iniivmp1)(1)(enieiFFdtpd则dtFdtFpdeniei)(1)()()(1221einiiiniFdtrdm质点组的动量定理：质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力的矢量和。或者说，质点组的动量的微分，等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。nieixxFdtdP1nieiyyFdtdP1nieizzFdtdP1直角坐标分量式：二、质心运动定理ciniirmrm1（质心的定义式）式中为质点组的总质量。1niimm两边对时间求导数，得ciniivmvmp1是质点组质心的速度。cv)(1)(enieicFFdtvdm)(1)(22enieicFFdtrdm或)(1)(enieiFFdtpd质点组的质量与其质心加速度的乘积等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质点组的质心运动定理。直角坐标系的分量形式：)()()(,,ezceycexcFzmFymFxm质心运动定理的物理意义：质心的运动，就犹如这样的一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。质点组的质量中心是一个特殊的几何点，质心质点的运动，由牛顿第二定律确定，代表了物体整体的平动运动规律。三、动量守恒定理若质心组不受外力或所受外力的矢量和为零，即01)()(nieieFF则Cvmpinii1Cvc或若作用在质点组上的诸外力在某一固定轴（设为x轴）上的投影之和为零,即01)()(nieixexFF则0dtdpxCmvvmpcxixniix1Cvcx例2一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和跑车质量和等于M,跑车可以自由地在铁轨上反冲。如果炮身与地面成一角度α,炮弹对炮身的相对速度为V,试求炮弹离炮身时对地面的速度ν及炮车反冲的速度u。xyuV0解：本题系统沿水平方向（设为χ方向）无外力作用，因火药爆炸力是内力，故沿χ方向系统动量守恒，即0Mumvx由相对运动的速度公式可得xyuV0yxvVvuVsin,cossin,cosVvVmMMvyxcosVmMmu2222cos)()2(1mMmMmVvvvyxtan)1(tanMmvvxy故由于炮车反冲而。Vv例3一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物体,以与水平线成α角的速度向前跳。当他跳到最高时，将物体以相对于他自己的速度水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增加了多少？0vu解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组在水平方向的动量守恒。设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为vvvcos0物体对地面的水平速度为)cos()cos(cos000uvvgQvvgPvgQP0)(QuvQPuQPQvuvvcos0设从最高点到落地的时间为t，则gvtgtvsin,0sin00故，多跳的一段距离为sin)(0uvgQPQvtx§2.3动量矩定理与动量矩守恒定律ir一、对固定点的动量矩定理由n个质点组成的质点组，每个质点的动力学方程为从左面矢乘，并对i求和（是质点组中任一质点Pi对惯性系中某固定点的位矢）。（）ni,,3,2,1ir)()(22iieiiiFFdtrdm)()()()(1)(1221iiniieiniiiniiiFrFrdtrdmr0)()(1iiniiFr)(22dtrdmrdtddtrdmriiiiii00MdtJd∵∴dtMJd00或质点组的动量矩定理:质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力对同一点的力矩的矢量和或质点组的动量矩的微分形式等于作用在质点组上诸外力的冲量矩的矢量和。（微分形式）直角坐标系的分量形式：)()()()(11eiyieizniiiiniiiiFzFyyzzymdtd)()()()(11eizieixniiiiniiiiFxFzzxxzmdtd)()()()(11eixieiyniiiiniiiiFyFxxyyxmdtd亦称为对固定轴的动量矩定理。xxMdtdJyyMdtdJzzMdtdJ即212121212121txxoxttyyoyttzzoztJJMdtJJMdtJJMdtdtMJJtt21012直角坐标系的分量形式动量矩定理的积分形式：二、动量矩守恒定律1.如果作用在质点组上的诸外力对某一固定点的合力矩为零,则CJMdtJd00002.如果，但对通过原点的某一固定轴(设为χ轴)上的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。00M0)()()(1eiyieizniixFzFyMCyzzymJiiniiiix)(1三、对质心的动量矩定理1.质心坐标系原点在质心，相对定系o-xyz（惯性系）作平动的动坐标系c-x′y′z′（一般为非惯性系）。2.对质心的动量矩定理)()()(22ciiieiiirmFFdtrdm用从左面矢乘并求和,得ir)]([)()()(1)(1)(11ciniieiniiiiniiiiniirmrFrFrrmr)()()(22ciiieiiirmFFdtrdm而)()(1221dtrdmrdtddtrdmriiiniiiini0)()(1iiniiFr∴niiiceiniiiiinirmrFrdtrdmrdtd1)(11)()(又因为质心位于动坐标系原点，则)(eccMdtJd在对质心的相对运动中，质点系对质心的动量矩的时间变化率，等于各外力对质心力矩的矢量和，这就是质心系对其质心的动量矩定理。01cniiirmrm从而)()()(11einiiiiiniFrdtrdmrdtd或表明对质心的惯性力矩的总和为零。3.对质心的动量矩守恒定律例4质量为m的质点，沿倾角为的光滑直角劈尖滑下，劈尖的质量为M，可在光滑水平面上自由滑动。试求:(1)质点水平方向的加速度；(2)劈的加速度；(3)劈对质点的反作用力；(4)水平面对劈的反作用力。CJMcec0)(1x2x1R2RmMvxy0解：系统在水平方向上动量守恒021xMxm令为物体沿斜面下滑的速度（相对），则vcos21vxxmMvxy0联立求解得vMmmxcos2vMmmxcos21Rmmg2xm在非惯性系中，对m有vmxmmgcossin2cossin2xgvgmMmx22sincossin1Rmmg2xmgmMMvxx221sincossincos0cossin21mgxmRgmMmMR21sincos0cos12RMgRgmMMmMR22sin)(再由1RMg2R对劈尖，由例5在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为与。两个质量分别为和的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时达到滑轮轴所在的水平面。假定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多少时间，两人可以同时达到？解：如教材图2.3.2所示，根据质点组对固定轴的动量矩定理，得grmmrvmmvdtd)(])[(ssmmgmmamma)(222,2tsatsagmmsmmst)()(2而故一、质点组的动能定理§2.4动能定理与机