SARS的传播模型(第九组)

SARS的传播摘要SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响。为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。对于问题1，给出了一个早期指数模型，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期数据分析预测后期疫情发展趋势的缺陷。基于此，我们考虑引进新的参数，建立更优的模型。对于问题2我们在早期模型的基础上进行改进，建立了SIR模型，考虑到疑似患者的变化情况，分别建立了模型一和模型二。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果符合模型所给数据，然后运用相轨分析法以及借助Matlab，excel软件，对附件中所提供的数据进行了拟合和分析。最后根据模型的分析结果对卫生部门所采取的措施如提前或延后5天采取严格的隔离措施，是有数学依据的。对于问题3我们根据表格所给数据，使用二次回归的方法先对03年1月份至12月份的数据进行预测，再使用Matlab中的作图工具箱做出未受SARS的影响图和受SARS的影响图，最后进行比较分析，得出结论：SARS对北京的旅游业造成影响。关键字：SIR模型、Matlab、excel、二次回归方程、相轨线一、问题重述SARS（非典型肺炎）的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，因此定量地研究传染病的传播规律，对预测和控制传染病蔓延起着很大的作用。现对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、问题分析2.1问题1的分析：对本文提供的一个早期的模型进行评价，主要是分析模型所采用的方法，对其合理性进行肯定，同时要指出其存在的不足。再与实际联系，分析该模型的实用性。2.2问题2的分析：根据对早期模型的分析，对其不足指出进行反思，建立起新的改进模型SIR，首先要对SARS的传播机理进行深刻的了解和分析；其次是根据传染病的特点建立起合适的模型SIR；最后对模型进行求解。2.3问题3的分析：由1997年至2002年的旅游人数预测未受SARS影响时2003各月份的旅游人数，并建立二次回归方程进行回归分析，接着由实际2003年1月至8月的数据预测9月到12月的旅游人数，建立二次回归方程拟合，比较SARS影响前后的图像，分析出其对旅游业的影响。三、模型假设1、假设总人口数保持不变，不考虑人口的流动因素2、忽略当地的自然出生率和自然死亡率。3、假设被治愈的病人有免疫力，不再被感染。4、假设移出者包括治愈免疫者和死亡人群四、定义与符号说明N：总人口数；()st：健康人占总人口的比例；()it：病人占总人口的比例；()rt：移出者占总人口的比例；1：日接触率，即每个病人每天接触的健康的概率；：日治愈率，即每天被治愈的病人的概率：日死亡率，即每天的死亡人数占病人总数的比例：传染期接触数，即有=；2：疑似感染率。即每天感染为疑似病人的比例；()lt：疑似病人占总人口的比例；：日转化率，即每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。五、模型建立与求解5.1问题1的求解1、早期模型的合理性评价：（1）该模型简单易行，方便对数据的拟合，并容易分析出所建模型与实际数据的误差，能够具有一定的合理性。（2）对广东、香港、以及北京的疫情发展趋势的比对可以看出因地区、人口等因素的影响疫情发展趋势存在很大的差异。。（3）该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，用短期数据来分析，这样建模具有一定的局限性，缺乏合理性。2、早期模型的实用性评价：（1）该模型反应出一般传染病模型的发展趋势“快速蔓延期、相对稳定期、逐渐消亡期”，具有一定的实用性，而该模型对于SARS传播发展的初期的研究有参考价值。（2）模型的参数K的的选择没有给出客观的算法或依据，人工的调整数据具有一定的主观性。而平均传染期限L固定在20，显得片面缺乏可靠性，因为平均传染期限是会随着疫情的发展而变化的。（3）该模型只是考虑了健康者和感染者，并没有考虑到治愈者能否具有免疫力的情况，实用性不强。5.2问题2的求解5.2.1SARS的传播机理：1、总人数N不变时，将社会人群分为三类，称为SIR模型。S类：称为健康人，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.I类：称为病人，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员.R类：称为移出者，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I类成员转化为R类后，立刻失去传染能力.()st、()it、()rt分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例.2、SARS的传播过程：()()()NsiNstNitNrt传染排除治愈和死亡健康人病人移出者5.2.2模型的建立模型一感染为SARS患者情况由假设可知，每个病人每天可使1()st个健康者变为病人，因为病人人数为)(tNi，所以每天共有1()()Nstit个健康者被感染，于是1Nsi就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有Ni个病人被治愈，有Ni个病人死亡。那么病人的感染为NiNiNsidtdiN（1）显然有：1)()()(trtits（2）对于病愈免疫的移出者而言应有：drNNiNidt（3）由（1）（2）（3）可得SIR模型如下：1010()(0)(0)disiuiiidtdssissdt（4）0)0(r模型二疑似患者的变化情况类似前面的分析，得到疑似患者率模型：22dlslldtdssldt（5）5.2.3模型的求解1、参数的确定：对附表2中的数据有excel处理：表格见附件表一当天的病人总数=隔天的确诊病例-当天确诊病例=当天病人总数每天治愈的人数，=当天疑似病人总数每天确诊的人数，=当天病人总数每天死亡的人数=0.055076=0.002443=0.038183（处理数据见附件1）故可得+=0.0575192、21,的确定)1(确定1从我们建立的模型是无法得到s、i、0i、0s的解析解。故求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、0i、0s做出它们与时间的函数图象图1，图1:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件2）当天病人变化图1然后我们再对1取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当11.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：通过数值解作出的i关于时间t的变化（画图程序见附件3）图2分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的ti~曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，图2在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。（2）确定2与确定1时类似，先根据实际数据画出图形（画图程序见附件4）图3实际数据图形然后再对2取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当21.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下（画图程序见附件5）：图4疑似病人变化在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。5.24结果的分析与验证（一）讨论tsti,的性质is~平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域Dis),(为1,0,0|),(isisisD从模型（一）中消去dt，利用的定义，可得,1.1sdsdi00|iiss（6）由（6）式解得)ln(*1000sssisi（7）（二）对于合理确定的5.11，我们可以画出si~图，图形如下：（画图程序见附件6）图5~is图形（相轨线）由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下取/10.4192，0.2858、0.1858时的图形，（画图程序见附件7）图6~is图形（相轨线）分析（3）式和（7）式，可知：1．不论初始条件0s，0i如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即0i。从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。2．SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数/1随着治愈率、死亡率和接触率1的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率和死亡率很小，而接触率1相对较大，所以/1很小。当0s/1，则)(ti开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当0s=/1时，)(ti达到最大值)ln1(1000sisim（9）对于我们确定的5.11，可以求出mi0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当0s/1时，)(ti单调减小至零，)(ts单调减小至s。这一时期病人比例)(ti绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。3．群体免疫和预防根据对模型的分析，当0s≤/1是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低0s，这可以通过预防接种使群体免疫。第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。忽略病人比例的初始值0i，有0s=1-0r，于是SARS不再蔓延的条件0s≤/1可以表示为：110r（10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例0r满足（10），就可以制止SARS的蔓延。4．数值验证与估量根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值0r。我们以最终未感染的健康者的比例s和病人比例达到最大值mi，作为传染病蔓延程度的度量指标。给定不同的，，0s，0i，用（8）式计算s，用（9）式计算mi/10s0ismi1.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.6520.020从计算得到的s和mi可以看出：（1）对于一定的0s，降低，提高，使阈值1/变大，会使s变大，mi变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SAR