迭代——方程求解(mathematica数学实验报告)

姓名@@@学院@@@@@班级##############学号############实验题目迭代——方程求解评分实验目的：1、初步了解迭代的概念，明确迭代思想在数学研究中的地位；2、通过实验，由Mathematica4.0软件演示运用迭代思想进行方程求解的具体过程，亲身体验迭代算法在计算机及数学学科中的重要地位；3、在学习和运用迭代法求解问题时，了解各种具体迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同；4、进一步熟悉Mathematica4.0软件的使用，复习Mathematica在数学作图、计算中的应用；5、通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。实验环境：学校机房，Mathematica4.0软件实验基本理论和方法：1、Mathematica中常用的函数及函数调用的方法：函数的迭代法思想：给定迭代函数)(xf以及一个初值0x利用（1）迭代得到数列nx,n=0,1,2…，如果数列nx收敛与某个*x，则有)(**xfx即*x是方程)(xfx的解.由此启发我们用如下的方法求方程0)(xg的近似解.将方程0)(xg改写为等价的方程)(xfx然后选取一初值利用（1）做迭代.迭代数列nx收敛的极限就是方程0)(xg的解.2、对迭代的概念、特点及方法的掌握，利用迭代思想求方程的解；3、对线性方程组的解的理论及矩阵理论的掌握和应用。实验内容和步骤：一、给定实数域上的实值函数()fx以及初值0x定义函数列1()0,1,...nnxfxn（1）,0,1nxn称为()fx的一个迭代序列.1、迭代法函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分行与混沌.同时，迭代在各种数值计算算法以及其它学科领域的诸多算法中处于核心的地位.本实验的基本理论是分形几何学.分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在在简单的过程中可以得到描述复杂的自然形态的有效方法.本实验的基本方法是简单的迭代。2、线性方程组的解的理论及矩阵理论:给定一个n元线性方程组11111111.......................................bxaxabxaxannnnnn,或写成矩阵的形式Axb其中)(ijaA是n阶方阵，Tnxxx),...,(1及Tnbbb),...,(1均为n阶列向量.熟知，当矩阵A的行列式非零时，以上的方程组的唯一解.如何有效，快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务.而迭代法常常是求解这些问题的有效方法之一.用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法是类似的.假设我们可以将方程组改写成xMxf其中)(ijmM是n阶矩阵，Tnfff),...,(1是n阶列向量.任意给定初始向量0x，由迭代fMxxnn1确定向量序列nx，n=1,2,….如果nx收敛到向量*x，则有fMxx**即*x是方程组得解.练习1：设/22xxfx，并且给定初值01x，做10次迭代得到序列nx，0,1,...n，程序运行如下：练习2：利用迭代公式1(),0,1,...()nngxxxngx得到^32gxx的迭代序列，其中01x，10n，程序运行如下：练习3：对给定的矩阵M，数组f和初始向量0x，由迭代公式1nnxMxf得到的迭代序列如下：练习4：利用迭代公式11()xLDAXDb将方程组11111111.......................................bxaxabxaxannnnnn即Axb改成多种等价形式xMxf做迭代，观察其收敛状况。给定1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A与2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A，运行结果如下：练习5：同练习4，给定1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A与2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A，利用迭代公式111()()xILUxILDb对方程组Axb做迭代。程序运行如下：实验结果和结果分析：对于书上给出的例题程序，要实际上机亲自操作一次，从而了解不同命令的不同作用，对于相似的命令要区分明白他们的不同之处。这一章小的命令比较多，也比较杂，需要分门别类区分开，并且分别运行一下。书后的练习题离不开前面的例题，要在掌握好例题的情况下，多练习一些习题，加深记忆。Mathematica在迭代法解方程组非常方便，应该熟练应用。附录：