函数奇偶性对称性周期性

1函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论函数的及三种性质之间的转化函数是整个高中数学的重中之重，而且它通常作为知识网络的交汇点形成综合性问题，其中以函数的奇偶性，周期性，对称性和函数的单调性结合的综合运算题目，一直是高考考察的难点问题，所以必须引起我们的注意，现将三者之间的关系归纳如下：一、函数的三种性质的定义1、周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kTx)(ba,x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,,,),(或①若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf②若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA②对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy④成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。①))(2,)(2(),(),(2222//BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关于2直线成轴对称；0CByAx②函数))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线0CByAx成轴对称。③0))(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）“内同表示周期性，内反表示对称性”。若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性.1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论1、函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称推论2、函数()yfax与()yfax图象关于Y轴对称推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称3推论4:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称2.函数)(xafy与()yfbx图象关于点(,0)2ba对称推论1、函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数推论2、函数()yfax与()yfax图象关于原点对称函数3.函数()yfx与()yfx图象x轴对称4.互为反函数()yfx与1()yfx图象直线y=x对称三、函数周期性的几个重要结论1、()()fxTfx(0T))(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()fxafxb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则4四、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）五、函数的对称性与周期性11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy周期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b()ba()fx的)(4abT六、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1(f求)1989(f的值.23)1989(f。2、比较函数值大小例3.若))((Rxxf是以2为周期的偶函数，当1,0x时，,)(19981xxf试比较5)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小.解：))((Rxxf是以2为周期的偶函数，又19981)(xxf在1,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例4.设)(xf是定义在区间),(上且以2为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.解：设1211212),12,12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以2为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf.例5．设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.解：当2,3x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以2为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例6、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数例7：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=)(1xf，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知)(xf的周期为4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性.6解：由)(xf的周期为4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例9.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以10为周期的函数.在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff故)(xf图象与x轴至少有2个交点.而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有13个交点.六、巩固练习1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象（）。A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)=（）。A．0.5B．-0.5C．1.5D．－1.53、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）。A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。5、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN｛｝中，已知，，求100x=-1．参考答案：D，B，C，T＝2。链接练习1、f(x)是奇函数，当x∈R+时，f(x)∈m,(m0)，则f(x)的值域可能是()A.［m，-m］B.m,C.,mD.m,∪,m2、设f(x)是R上的奇函数，且x∈R+时，f(x)=log2(2x+1)，则当x∈R-时，f(x)=()A.log2(2x+1)B.-log2(2x+1)C.log2(1-2x)D.-log2(1-2x)3、已知奇函数f(x)在区间［-b，-a］上单调减且最小值为2004，则g(x)=-|f(x)|在［a，b］上()7A.单调减且最大值为-2004B.单调增且最小值为-2004C.单调减且最小值为-2004D.单调增且最大值为-20044、已知f(x)=x3+bx2+