黎曼假设

2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。编辑本段理论形成来源几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Primenumber），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。）1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1)时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(2)其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3)证明了上式，即证明了黎曼猜想。为什么：π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(4)因为：1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。（5）所以：1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+..............................................右端所有第一项的“1”相乘得到：“1”；右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2";...................把所有加起来就是：1+1/2+1/3+1/4+........在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。黎曼ζ函数黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（RiemannsHypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ函数呢？黎曼ζ函数ζ(s)是级数表达式(n为正整数)ζ(s)=∑nn^-s(Re(s)>1)在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为-如我们已经注明的-这一表达式只适用于复平面上s的实部Re(s)>1的区域(否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴(即从+∞出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至+∞-离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0)进行的围道积分；式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数s>1：Γ(s)=(s-1)!。可以证明，这一积分表达式除了在s=1处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ函数满足以下代数关系式：ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)从这个关系式中不难发现，黎曼ζ函数在s=-2n(n为正整数)取值为零-因为sin(πs/2)为零[注三]。复平面上的这种使黎曼ζ函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。因此s=-2n(n为正整数)是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为黎曼ζ函数的平凡零点(trivialzeros)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点(non-trivialzeros)。对黎曼ζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉：黎曼猜想黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为criticalline。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于criticalline上。这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在1859年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。素数分布公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。（沈康身《自然杂志》1991年11期）。後来人们（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。（四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。(6)其中p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标]，则N是一个素数。（五）可以把（6）等价转换成为用同余式组表示：N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。(7)例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。由于（7）的模p1，p2，....，pk两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（7）在p1p2.....pk范围内有唯一解。例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。k=3时,---------------------|5m+1-|-5m+2-|5m+3,|5m+4.|---------------------|---------|----------|--------|---------|n=2m+1=3m+1=|--31----|--7,37-|-13,43|--19----|n=2m+1=3m+2=|-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|------------------------------------------------------------求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。有人发现埃拉托塞尼筛法的公式【即(6)(7）式】反过来可以推出黎曼猜想的猜想。因为（1）式要求S是复数，（6）（7）式要求n<P(k+1）的平方。只要把两个式子连接起来，就可以研究。现在还没有找到这个纽带，但是已经有共同的内容联系起来：以下内容可以参见任何一本有关黎曼猜想的书籍，下面内容摘自《素数之恋》第100页。黎曼猜想的基本来源是埃拉托塞尼筛法。埃氏筛大家都熟悉，我们就省略了，下面是某个大于1的*函数。（原文章用s，由于s不好表示右上标，所有这里我们用“*”表示）ζ（*）=1+1/2*+1/3*+1/4*+1/5*+1/6*+.....。（8）（注意，这里“*”表示右上角标）。在等号两边乘以1/2*由幂运算规则得到：1/2*ζ(*)=1/2*+1/4*+1/6*+1/8*+1/10*+1/12*+.....。（9）我们从第（8）式子减去第二个式子，在左边我有一个ζ（*），又有它的1/2*,做减法得：（1-1/2*)ζ(*)=1+1/3*+1/5*+1/7*+1/9*+1/11*+1/13*+1/15*+....。（10）这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。现在我们在等号两边乘以1/3*,而3是右边第一个还没有去掉的数：1/3*(1-1/2*)ζ(*)=1/3*+1/9*+1/15*+1/21*+1/27*+1/33*+1/39*+....。（11）我们再做减法得：（1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/5*+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+....。（12）3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘以1/5*,结果是：1/5*(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1/5*+1/25*+1/35*+1/55*+1/65*+1/85*+1/95*+1/115*+...。（13）现在从前面那个式子减去这个等式得：（1-/5*)(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+...。（14）我们继续下去，对于大于1的任意*，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号，我们得到：ζ（*）=[1/(1-1/2*)]×[1/(1-1/3*)]×[1/(1-1/5*)]×