精选最新版2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题1．已知正四棱柱1111ABCDABCD中12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（）A．23B．33C．23D．13（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））2．过平行六面体1111DCBAABCD任意两条棱的中点作直线,其中与平面11DDBB平行的直线共有A．4条B．6条C．8条D．12条(2006湖南理)3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离为（）A．23B．22C．21D．33(2005湖南文)4．已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a⊥α,b⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（）A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交（2001上海15）5．关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：①//,//nm且//，则nm//；②nm,且，则nm；③//,nm且//，则nm；④nm,//且，则nm//.其中真命题的序号是：（）A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③（2006湖北卷）6．线a、b和平面，下面推论错误的是A.babaBbb//aaCa//abba或Db//ab//a7．下面各图中，PQRS、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是------（）PQSRRSQPRPSQQSPR(A)(B)(C)(D)二、填空题8．三棱锥OABC的侧棱,,OAOBOC两两垂直且长度分别为2cm，3cm，1cm，则该三棱锥的体积是▲cm3．9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为▲cm．10．如果a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系可能是__________；11．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是．12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)（2013年高考湖北卷（文））13．用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为▲．14．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V的体积为．15．过长方体1111ABCDABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBBD平行的直线共有▲条．16．4条线段首尾相连，它们最多可确定平面个数有_____________个17．一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45o，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为.18．在长方体1111ABCDABCD中，若13,4ABBCAA，求1AB和1BC所成角的余弦值。三、解答题19．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD-中，PA^底面ABCD，ADAB^，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BEDC^；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BFAC^，求二面角FABP--的余弦值．平面FAB的法向量，则110,0,nABnBFìï?ïíï?ïî即0,1130.222xxyzì=ïïïíï-++=ïïî不妨令1z=，可得()10,3,1n=-为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量()20,1,0n=，则1212113310cos,10101nnnnnn×´-===-×．易知，二面角FABP--是锐角，∴其余弦值为31010．20．如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：//AP平面MBD；（2）若ADPB，求证：BD平面PAD.21．如图已知四棱柱ABCD-1111ABCD的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，01160BAADAA，求1AC的长.ABCDB1A1C1D122．（理）已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。（I）求证：1AC平面1ABC；（II）求1CC到平面1AAB的距离；（III）求二面角1AABC余弦值的大小。23．如图在三棱锥ABCP中，PA⊥平面ABC，ABC为正三角形,D、E分别为BC、AC的中点.（1）证明：EB平面PAC；（2）在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？若存在，请指明F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.24．如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．【答案及解析】【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．25．斜四棱柱1111ABCDABCD中，AD平面11ABBA，沿着平面11ABCD把四棱柱切开，将三棱柱1111ABBDCC绕棱BC旋转使1B、1C落在平面ABCD上，得到新的几何体，如图．（1）求证；//AD平面//1111AADD；（2）设/11AA与/11DD中点分别为E与F，求证：/11AA平面BCFE．26．已知：四棱锥P-ABCD的底面是梯形，过梯形上底AB做截面（不过CD）与所对侧面PDC的交线为EF,求证：EF∥面ABCDPFEDCBA27．已知：空间四边形ABCD中，ACBDa，点,EF分别是,ADBC的中点，且2,902EFaBDC，求证：BD平面ACD。ABCDEF28．已知：∥，,aa∥。求证：a∥。29．如图，在四面体ABCD中，CBCDADBD，，点EF，分别是ABBD，的中点．ABCDEF求证：（1）直线//EF面ACD；（2）平面EFC面BCD．证：(1）∵E,F分别是ABBD，的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；(2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面EFC面BCD30．如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．(1）求三棱锥D－ABC的表面积；(2）求证AC⊥平面DEF；(3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．15－1解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝2a．设G为CD的中点，则CG＝12a，AG＝72a．∴212ABCABDSSa，234BCDSa，274ACDSa．三棱锥D－ABC的表面积为24374ACDSa．(2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．(3）存在这样的点N，当CN＝38CA时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．ECBDAFNMGHO由条件知，O为△BCD的重心，CO＝23CM．∴当CF＝23CN时，MN∥OF．∴CN＝313248CACA．