2009级数学分析第2学期期中考试2010-5-05解答

共4页，第1页《数学分析》期中解答2010.5.5(电院)一、填空题（每小题4分，共24分）1．,2，]2,(；2.8；3.x21，12；4.2；5.990!8!11；6.2254.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设级数1nnu收敛，则下列级数中必定收敛的是……【A】(A)1nnun.(B)1(1)nnnu.(C)21nnu.(D)1cosnnun.2.设()fx,()()nfxnN在[,]ab上连续，且[,]nabfxfx，下列说法中【D】①当n充分大时()nfx在[,]ab上没有零点，则()fx在[,]ab上亦没有零点.反例：11,42()0nnfxx.②()fx在[,]ab上没有零点，则当n充分大时()nfx在[,]ab上亦没有零点.反例：[0,1]22()11,1nnxfxnx210nfn.(A)①正确，②不正确.(B)①不正确，②正确.(C)①②都正确.(D)①②都不正确.3.设函数项级数1()nnux在(,]ab内闭一致收敛于()fx，考虑下列说法①1()nnux在(,]ab内一致收敛于()fx.②1()nnux在(,]ab内收敛于()fx.③1()nnux在xb处收敛于()fb.以上说法中正确的个数是……【C】(A)0个.(B)1个.(C)2个.(D)3个.4.设幂级数0nnnax在11(0)xxx处收敛，则下列断语中错误．．的是……【B】(A)0nnnax在1||||xx内绝对收敛.(B)0nnnax在1||||xx内一致收敛.共4页，第2页(C)11nnnnax在1||||xx内绝对收敛.(D)101nnnaxn在1||||xx内绝对收敛.三、判断及说明题(每小题6分,共12分)1.若级数1nna、1nnb都收敛,则级数1nnnab也收敛.解错误-----------------3分反例取11nnnnab1(1)nnn,则级数1nna、1nnb都收敛,但级数1nnnab发散.-----------------6分2.若0nfx,[,)xab，且|()|(1,2,)nbfbnn，则必有0nfx，[,]xab.解正确-----------------3分0，由0nfx,[,)xab知，11:NnN，[,)xab有0nfx；又|()|(1,2,)nbfbnn，故22:NnN有|()|nfb，令12max{,}NNN，于是当nN时，对[,]xab有0nfx，故有0nfx，[,]xab.--------6分四、(每小题8分，共16分)1.将函数21()6fxxx展开为1x的幂级数，并指出其收敛域.解因为211111()6(3)(2)532xxxxxx--------2分11111110151123xx001111102153nnnnxx1101111523nnnnnx-------7分收敛区间由111,123xx13x又当1,3x时上述级数均发散，故收敛域为13x-------8分2.将函数111()lnarctan412xfxxxx展开成x的幂级数，并指出其收敛域.解因为4411()1,111nnfxxxx-------3分又(0)0f，故对(1,1)x有共4页，第3页4001()(0)()d0dxxnnfxffttxt41141nnxn-------7分由于当1x时()fx均无定义，故有411(),(1,1)41nnxfxxn.-------8分五、(本题14分)设有幂级数21(1)nnnnx（1）求其和函数()fx；（2）求数项级数211(1)2nnnnn之和.解21(1)nnnnx的收敛区间为)1,1(，--------2分则当)1,1(x时有22111222122223()1()121111nnnnnnnnnnnnfxnnxnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx,331xxx--------10分于是21115(1)()2227nnnnnf--------14分六、(本题14分)设函数()fxx（1）求()fx在,上的Fourier展开式，并写出其和函数；（2）计算401(21)nn与411nn.解由于函数()fx为偶函数，故0,1,2,nbn-------2分ππ0π012ddπππaxxxx，ππ2π0122cosdcosd[(1)1]πππnnaxnxxxnxxn------6分于是()fx的Fourier级数为21π2()(1)1cos,(ππ)2πnnfxnxxxn---------8分共4页，第4页根据Parseval等式得，222π22π12(1)1π12πd2ππ3nnxxn于是4401π(21)96nn---------12分由444441011111π119616212nnnnnnnn解出4411π90nn---------14分七、证明题（本题8分）已知221sin12nnn.设幂级数221sin()nnnSxxn，证明：存在(0,1),使得1'()2S.证明根据221sin12nnn知，幂级数221sin()nnnSxxn的收敛半径1r，且根据Abel第三定理知，()[0,1][0,1)SxCD.---------4分根据Lagrange中值定理知，存在(0,1),使得1(1)(1)(0)'()(10)'()2SSSSS---------8分得证.《数学分析》期中解答2010.5.5(管院)一、填空题（每小题4分，共24分）1．,2，]2,(；2.8；3.1,1，不一致；4.x21，12；5.2；6.990!8!11.二、单项选择题（每小题3分，共12分）(A)(D)(C)(B)三、判断及说明题(每小题6分,共12分)同电院四、(每小题8分，共16分)同电院五、(本题14分)同电院共4页，第5页六、(本题14分)设函数项级数n221()(1nxfxxn）,证明：(1)n221(1nxxn）在(,)上绝对收敛；(2)n221(1nxxn）在(,)上一致收敛；(3)n221(1nxxn）在(,)上不绝对一致收敛.解（1）对0b，当,xbb时有n222(1xbxnn），注意到21nbn收敛，故n221(1nxxn）在,bb上绝对收敛，因此n221(1nxxn）在(,)上绝对收敛.---------5分(2)记22()(1),()nnnxuxvxxn，易见11()(1)nnnnux的部分和函数列()nSx在(,)上满足()1nSx，且对每一个,x有()nvx为单调函数列，同时由于1()2nvxn，表明()nvx在(,)上一致收敛到0，故n221(1nxxn）在(,)上一致收敛.---------5分（3）考虑绝对值级数n222211(1nnxxxnxn），存在0105，对n，取nxn有22202222221111(2)5nnnnknknknnxnnxknknn，根据Cauchy收敛准则知，绝对值级数在在(,)上不一致收敛，所以n221(1nxxn）在(,)上不绝对一致收敛.---------14分七、（本题8分）同电院.