等比数列前n项和公式的推导及性质

细节决定成败态度决定一切引入：印度国际象棋发明者的故事（西萨）引入新课它是以１为首项公比是２的等比数列，64S236312222.分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:23631,2,2,2,,2.64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(12222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(122222)…2346364(222222)230-1=1073741823646421S这种求和的方法,就是错位相减法!191.841018446744073709551615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211①②①—②，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；1q1q2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q1)(q证法二：借助Sn-an=Sn-1(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以用等比定理：证法三：)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqqqaaSnn等比数列的前n项和公式知三求二(1)等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导(3)两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)台21.15000……第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n•1．数列{2n－1}的前99项和为()•A．2100－1B．1－2100•C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C•2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()•A．4B．5•C．6D．7解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝a1－anq1－q＝3－96q1－q＝189，1－32q1－q＝63.解得q＝2.∴n＝6.答案：C•3．已知等比数列{an}中，an0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝1－251－2＝31.答案：31•4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)答案：13(4n－1)•5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．解析：①当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；②当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，因为q≠1，所以1－q≠0，化简得1＋q＋q2＝3q2，解得q＝－12或q＝1(舍)综上，q的值为1或－12.◎已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意正整数n都有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2009的值．【错解】(1)设a1＋d＝b1q，a1＋4d＝b1q2，a1＋13d＝b1q3.由题意，得(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，整理，得d2－2d＝0，解得d＝2，d＝0(舍去)，∴an＝2n－1.于是b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b4＝a14＝27，所以公比q＝b3b2＝3，b1＝1，故bn＝b1qn－1＝3n－1.(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1.由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，得c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an，两式相减得cnbn＝an＋1－an＝2，所以cn＝2bn＝2·3n－1，∴c1＋c2＋…＋c2009＝2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·32008＝2(30＋31＋32＋…＋32008)＝2·1·32009－13－1＝32009－1.【错因】由递推关系式c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得到c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an，两式相减得到cnbn＝an＋1－an＝2时，忽视了n≥2这一条件，事实上，数列{cn}的通项公式应当为分段函数型，这是易错点．【正解】(1)设a1＋d＝b1q，a1＋4d＝b1q2，a1＋13d＝b1q3.由题意，得(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，整理，得d2－2d＝0，解得d＝2，d＝0(舍去)，∴an＝2n－1.于是b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，b4＝a14＝27，所以公比q＝b3b2＝3，b1＝1，故bn＝b1qn－1＝3n－1.(2)∵an＝2n－1，bn＝3n－1，∴an＋1＝2n＋1.由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，得c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an(n≥2)，两式相减，得cnbn＝an＋1－an＝2，所以cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，c1b1＝a2＝3，于是c1＝3b1＝3，由上述公式得c1＝2·31－1＝2，∴cn＝3n＝12·3n－1n≥2.∴c1＋c2＋…＋c2009＝3＋2·31＋2·32＋…＋2·32008＝3＋2(31＋32＋…＋32008)＝3＋2·3·32008－13－1＝32009.[例3]求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.[分析]{1an}成等比数列，其系数构成的数列{n}成等差数列，故可用错位相减法求前n项和．[解]分a＝1和a≠1两种情况．当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，上式两边同乘以1a，得1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1，两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1，即Sn＝aan－1－na－1ana－12，综上所述，得Sn＝nn＋12，a＝1，aan－1－na－1ana－12，a≠1.•[点评]在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a＝1和q＝1的讨论，从而丢掉一种情况．[题后感悟]错位相减法一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．•在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：•(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．•(2)注意相消的规律．•(3)注意相消后式子(1－q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数．•(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．迁移变式3(1)求数列12，34，58，…，2n－12n的前n项和Sn.(2)a≠0且a≠1，求1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1.解：(1)令Sn＝12＋34＋58＋…＋2n－32n－1＋2n－12n①12Sn＝14＋38＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1②①－②得12Sn＝12＋24＋28＋…＋22n－2n－12n＋1＝12＋2×(14＋18＋…＋12n)－2n－12n＋1＝12＋2×14×1－12n－11－12－2n－12n＋1，∴Sn＝1＋2(1－12n－1)－2n－12n＝3－12n－2－2n－12n＝3－3＋2n2n.∴Sn＝3－2n＋32n.(2)Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an②①－②得(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2(a＋a2＋…＋an－1)－(2n－1)an＝1＋2×a1－an－11－a－(2n－1)an∴Sn＝11－a＋2a1－an－11－a2－2n－1an1－a解：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当x≠1时，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋n