小学数学容斥问题

老师：潘煜勋？容斥问题容—包括斥—排除测一测6＋6－1=11（人）答：共有11人。1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？2、洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？8×2－7=9（个）答：一共要9个夹子。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1＋性质2减去它们的共同性质。学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？拉手风琴的人数：24人弹电子琴的人数：17人两种都会弹的人数：8人？人24＋17－8=33（人）答：一共有33人。容斥原理：1、找分的类：2类找1、2类共有的2、2类的总个数等于2类的和减去它们的共有的。例1、五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？试试：语文优秀的人数：65人数学优秀的人数：87人两科都优秀的人数：30？人65＋87－30=122（人）答：五年级一共有122人。四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（-）班一共有多少人？练一练25＋23－19=29（人）答：一共有29人。一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？做完语文的人数：37人做完数学的人数：42人两科做完的人数：？48人37＋42－48=31（人）答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。例2、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？试试：语文优秀的人数：65人数学优秀的人数：87人两科做完的人数：？122人65＋87－122=30（人）答：语文、数学都优秀的有30人。练一练2分钟你能做完吗？第51页举一反三第1题在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数有多少个？5的倍数的个数数：6的倍数的个数：30的倍数的个数：？个100÷5=20（个）答：有67个。不是5的倍数；不是6的倍数；不是30的倍数5的倍数的个数；6的倍数的个数；30的倍数的个数100÷6=16（个）……4100÷30=3（个）……1020＋16－3=33（个）100－33=67（个）例3、练一练2分钟你能做完吗？第51页举一反三第2题全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？例4、18＋21＋9－3－1－40=44－40=4（人）答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。练一练2分钟你能做完吗？第51页举一反三第3题某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？例5、一项不会的就不符合一项不会的尽可能的多，即考虑重复的不会游泳的：50－35=15（人）不会骑自行车的：50－38=12（人）不会溜冰的：50－40=10（人）不会打乒乓的：50－46=4（人）四项都会的至少有：50－（15＋12＋10＋4）=9（人）练一练2分钟你能做完吗？第51页举一反三第4题作业：第52页熟能生巧（1）、（2）做在作业本上（要求：不抄题，标清题号，字迹工整整洁，做完后请家长签字。）复习容斥问题例1、例2，预习例3、例4课后过关：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？容斥原理（第二讲）•某校六（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人•足球排球••游泳•如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8。现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上资料求得答案？我们利用等式的性质来试试看.•把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81。可是这结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。由于等式(4)－(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便可以把多余的D、E和F减去，得A+B+C+D+E+F=37。可是这么一来，本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G=45，即该班共有45名学生。•结论（公式二）•如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类事物个数=A类事物个数+B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类的事物个数—既是A类又是C类的事物个数—既是B类又是C类的事物个数+既是A类又是B类而且是C类的事物个数。•例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？25+18+20-8-13-6+3=39人•例2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人•分析与解：根据题意画图。6614冰汽?人103雪•例3.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。•分析与解：根据已知条件画出图。数英49人质3语3020101质•三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：整理后得：由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。•答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。3020103149xyxy9•例5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？•分析与解：根据题意画图。数英98语20202073•设三科都得满分者为x•全班人数•整理后：全班人数＝39＋x•39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即且，由此我们得到，另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。•当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有39人。•答：这个班最多有46人，最少有39人。2020207893xxx78，()39746x9x7试一试•1.某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。•45-1=4420+18+22-6-7-8=3944-39=5人•2.某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？•设三年连续三好生人数为x人•全班人数=10×3-5-4-3+X+20•因为x应该小于等于3，所以x最大是3，最小是0•所以这个班最多有41名同学，最少有38名同学