等比数列的概念教学设计

16.3.1等比数列的概念【教学目标】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念．2.逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题．3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力．【教学重点】等比数列的概念及通项公式．【教学难点】灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题．【教学方法】本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入复习提问：（１）等差数列的定义；（２）等差数列的通项公式；（３）计算公差d的方法；（４）等差中项的定义及公式．学生动手操作：把一张纸连续对折5次，试写出每次对折后纸的层数．通过学生动手操作可得折纸的层数是2，4，8，16，32．教师提出问题．学生思考回答．教师用问题引导学生观察相邻两项的关系，根据前面所学等差数列的知识，尝试给出等比数列的定义．回顾以前学过的知识，为知识迁移做准备．通过动手操作解答问题，体验数学发现和创造的过程．新课1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．公比通常用字母“q”表示．练习一学生对比等差、等比两数列的异同．培养学生发现问题，类比推导与归纳总结的能力．2新课抢答：下列数列是否为等比数列？①8，16，32，64，128，256，…；②1，1，1，1，1，1，1，…；③243，81，27，9，3，1，，，…；④16，8，4，2，0，－2，…；⑤1，－1，1，－1，1，－1，1，…；⑥1，－10，100，－1000，…．注意：（1）求公比q一定要用后项除以前项，而不能用前项除以后项；（2）等比数列中，各项和公比均不为0；（3）q=1时，{an}为常数列．2．等比数列的通项公式首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式可以表示为an=a1qn－1．根据这个通项公式，只要已知首项a1和公比q，便可求得等比数列的任意项an．事实上，等比数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．练习二已知一个等比数列的首项为1，公比为－1，求这个数列的第9项．练习三求下列等比数列的第4项和第8项：（1）5，－15，45，…；（2）1.2，2.4，4.8，…；（3）23，12，38，…；教师出示题目．学生思考、抢答．师问：你能说出练习一中，等比数列的公比吗？教师出示练习一中的等比数列．学生说出各题的公比q．师：等比数列中，某一项可以为0吗？公比q可以为0吗？为什么？师：常数列是等比数列吗？学生根据定义，得出结论．师：请仿照等差数列通项公式的推导过程，归纳总结等比数列的通项公式．学生分组探究．a2=a1q，a3=q=q=a1，a4=q=q=a1，……an=a1．练习时请个别学生在黑板上做题．教师订正．学生做练习三．通过一组练习题，加深学生对等比数列定义的理解．用抢答的方式，激发学生的思维，调动学生的学习积极性．在教师的引导下，结合等比数列定义，归纳得出结论，提高学生发现问题、解决问题的能力．引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力和合作意识．巩固加深对等比数列概念及其通项公式的理解，能运用等比数列解决一些简单的实际问题．3新课（4）2，1，22，…．例1已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．解设这个数列的第一项是a1，公比是q，则a1q2=12，①a1q3=18．②解①②所组成的方程组，得q=32，a1=163，a2=a1q=163×32=8．即这个数列的第1项是163，第2项是8．练习四1．一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项．2．一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项．例2将20，50，100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q.解设所加常数为a，依题意20+a，50+a，100+a成等比数列，则50+a20+a＝100+a50+a，去分母，得(50+a)2＝(20+a)(100+a)，即2500+100a+a2＝2000+120a+a2，解得a＝25．代入计算，得50+a20+a＝50+2520+25＝53，所以公比q＝53．教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？教师启发学生，当用一个式子解决不了问题的时候，考虑构成方程组来解决．教师板书解题过程．引导学生注意求公比的方法：两式相除．学生解答练习四．请学生在黑板上做题．教师巡视指导．教师引导学生利用等比数列的定义列出方程．教师注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法．通过练习，让学生进一步掌握等比数列中，求公比的独特方法．此题看似复杂，实际上学生自己可以完成．另外例2的思路与以下等比中项的思路一致，可以在讲完等比中项以后让学生再回顾此题．4新课3．等比中项的定义在2与8之间插入一个数4，那么2，4，8成等比数列．一般地，如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4.等比中项公式如果G是a与b的等比中项，则G2=ab，即G=±ab．容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．练习五求下列各组数的等比中项：（1）2，18；（2）16，4．由特殊数列2，4，8引出等比中项的定义．师：2，－4，8是否构成等比数列？－4是不是2和8的等比中项？学生思考、合作探究，得出等比中项公式．教师引导学生注意等比中项的值有两个．学生口答练习五．师生统一订正．培养学生发现问题，进行类比、推导以及归纳总结的能力．小结1．等比数列的定义．2．等比数列的通项公式．3．等比中项的定义及公式．4．等比数列定义与通项公式的应用．学生阅读课本P18～P20，畅谈本节课的收获．教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力．作业教材P23，习题第1，2题．学生课后完成．巩固拓展．