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第57讲UNIT9分类加法计数原理与分步乘法计数原理课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.考试说明基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法知识聚焦课前双基巩固m1+m2+…+mnm+nm×nm1×m2×…×mn对点演练课前双基巩固题组一常识题1.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,可得直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是.[答案]6[解析]分两步:第一步确定横坐标,有3种情况,第二步确定纵坐标,有2种情况,因此满足条件的点的个数是3×2=6.课前双基巩固2.[教材改编]6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种.[答案]216[解析]根据分步乘法计数原理,获得冠军的可能性有6×6×6=216(种).课前双基巩固3.[教材改编]如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有个.[答案]12[解析]当组成的“好数”中有3个1时,有2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,共9个;当组成的“好数”中有3个2,3,4时,各有1个,即2221,3331,4441.根据分类加法计数原理可知,“好数”共有12个.课前双基巩固4.[教材改编]李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同颜色的半身裙,另有2套不同样式的连衣裙,现在需选择1套服装参加歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法共有种.[答案]14[解析]分两类:第一类,不选择连衣裙,可分两步完成,第一步选衬衣有4种选法,第二步选半身裙有3种选法,共有4×3=12(种)选法;第二类,选择连衣裙,有2种选法.故李芳选择服装的不同方法共有12+2=14(种).课前双基巩固题组二常错题◆索引:分类、分步时标准不清导致出错.5.有3女2男共5名志愿者要全部分配到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙2名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.[答案]12[解析]先安排甲、乙2名女志愿者,有3种分法.剩余1女2男,分为1男1女和1男两组,分组后安排到2个社区,共有2×2=4(种)分法.故总的分法有3×4=12(种).课前双基巩固6.在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者.三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有种.(用数字作答)[答案]10[解析]设这三个人分别是甲、乙、丙,则他们的传递方式如图.故共有10种.课前双基巩固7.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为.[答案]18[解析]分两类情况讨论:第一类,三位数的百位、十位、个位分别为奇数、偶数、奇数,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个)奇数;第二类,三位数的百位、十位、个位分别为偶数、奇数、奇数,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个)奇数.根据分类加法计数原理知,共有12+6=18(个)奇数.课前双基巩固8.某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有种.[答案]35[解析]∵每封电子邮件有3种不同的发送方法,∴要发5封电子邮件,不同的发送方法有3×3×3×3×3=35(种).探究点一分类加法计数原理课堂考点探究例1(1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有()A.120种B.16种C.64种D.39种(2)将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有()A.16种B.12种C.9种D.6种[思路点拨](1)取书可按书架的层次分类计数;(2)分六种情况讨论,求解每一种情况的放球方法数,然后利用分类加法计数原理求解即可.课堂考点探究[解析](1)书架上有3+5+8=16(本)书,则从中任取1本书,共有16种不同的取法.故选B.(2)由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当1号与2号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1号与3号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;[答案](1)B(2)B例1(1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有()A.120种B.16种C.64种D.39种(2)将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有()A.16种B.12种C.9种D.6种课堂考点探究当1号与4号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当2号与3号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当2号与4号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当3号与4号小球放在同一盒子中时,有2种不同的放法.因此,由分类加法计数原理可知,不同的放球方法共有12种.故选B.例1(1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有()A.120种B.16种C.64种D.39种(2)将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有()A.16种B.12种C.9种D.6种课堂考点探究[总结反思]分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置.运用分类加法计数原理时,应根据题目特点选择一个恰当的分类标准.分类时应注意完成这件事情的一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,不能重复.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.课堂考点探究变式题某学校高一年级有8个班,高二年级有6个班,若从高一和高二的班级中选一个班级负责星期一早晨升旗,则不同的选择方法共有()A.8种B.6种C.14种D.48种[答案]C[解析]若从高一的班级中选取,则有8种选择方法,若从高二的班级中选取,则有6种选择方法,故不同的选择方法共有8+6=14(种).故选C.探究点二分步乘法计数原理课堂考点探究[思路点拨](1)先看化学夏令营,甲、乙两人都不能参加化学夏令营,则参加化学夏令营的人有4种选法,然后看其余3个夏令营,可以在剩余的5人中任意选择,最后根据分步乘法计数原理得到结果.(2)如图所示,考虑按A,B,C,D,E的顺序安装,A,B两角应选不同颜色的灯,在安装C角的灯时,要考虑所选灯的颜色是否与A角灯同色,最后判断D,E两角安装什么颜色的灯.例2(1)从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物夏令营,每人只能参加其中1个夏令营,且每个夏令营均有人参加,其中甲、乙两人都不能参加化学夏令营,则不同的参加方案的种数为()A.94B.180C.240D.286(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有种.课堂考点探究[解析](1)先看化学夏令营,甲、乙两人都不能参加化学夏令营,于是可从另外的4人中选1人参加化学夏令营,有4种选法,然后从剩下的5人中选1人参加数学夏令营,再从剩下的4人中选1人参加物理夏令营,最后从剩下的3人中选1人参加生物夏令营.根据分步乘法计数原理可得共有4×5×4×3=240(种)参加方案.故选C.[答案](1)C(2)30例2(1)从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物夏令营,每人只能参加其中1个夏令营,且每个夏令营均有人参加,其中甲、乙两人都不能参加化学夏令营,则不同的参加方案的种数为()A.94B.180C.240D.286(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有种.课堂考点探究(2)如图所示,按A,B,C,D,E的顺序开始安装灯,则A角有3种装法,B角有2种装法,C角的灯的颜色可分为两类:①当C角与A角灯的颜色相同时,D,E角灯的装法有2种;②当C角与A角灯的颜色不同时,D,E角灯的装法有3种.根据计数原理可得,不同的安装方法共有3×2×(2+3)=30(种).例2(1)从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物夏令营,每人只能参加其中1个夏令营,且每个夏令营均有人参加,其中甲、乙两人都不能参加化学夏令营,则不同的参加方案的种数为()A.94B.180C.240D.286(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有种.课堂考点探究[总结反思]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先考虑特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.课堂考点探究变式题(1)[2018·拉萨期末]用5种不同的颜色给图9-57-1中的A,B,C,D四个区域涂色,若一个区域只涂一种颜色,相邻的区域涂不同的颜色,则不同的涂色方案共有()A.420种B.180种C.64种D.25种图9-57-1图9-57-2(2)如图9-57-2所示,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径的条数为()A.24B.18C.12D.9课堂考点探究[答案](1)B(2)B[解析](1)分步涂色,先涂区域A,有5种涂法,再涂区域B,有4种涂法,然后涂区域C,有3种涂法,最后涂区域D,有3种涂法,∴共有5×4×3×3=180(种)不同的涂色方案.故选B.(2)由E到F的最短路径有6条,由F到G的最短路径有3条,由分步乘法计数原理知,从E到G共6×3=18(条)最短路径.探究点三两个计数原理的综合课堂考点探究例3(1)若高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动,去哪个工厂可自由选择,且甲工厂必须有班级去,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种(2)用四种不同的颜色给图9-57-3中的A,B,C,D,E,F这六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有()图9-57-3A.168种B.240种C.264种D.288种[思路点拨](1)分甲工厂有一个班去、两个班去、三个班去三种情况进行求解.(2)先给A,E,F,C四个点涂色,分三种情况:①四个点涂四种颜色;②四个点涂三种颜色;③四个点涂两种颜色.课堂考点探究[解析](1