2016高考数学常见题型(第五辑)：排列组合的综合应用

排列组合的综合应用排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解，并注意到分类的不重不漏．例1(1)平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．①用这9个点可以确定多少条直线？②用这9个点可以确定多少个三角形？③用这9个点可以确定多少个四边形？题型一几何问题【解析】①确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为C29－C24＋1＝31.②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为C39－C34＝80.③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为C49－C15C34－C44＝105.(2)在正方体的八个顶点中取三点连成三角形，可构成________个等腰直角三角形．【答案】24(1)平面内有n条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为()对点训练A．n(n－1)B．(n－1)(n－2)C.nn－12D.n－1n－22【解析】这n条直线交点的个数为C2n＝nn－12.【答案】C(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，若在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有多少种？【解析】方法一：从10个点中，任意取4个点的不同取法共有C410种，其中，所取4个点共面的可分为两类．第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有4C46种取法．第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法．所以符合题意的不同取法种数为C410－(4C46＋6＋3)＝141.方法二：在四面体中取定一个面，记为α，那么取不共面的4个点，可分为四类．第一类，恰有3个点在α上．这时，该3点必然不在同一条棱上，因此，4个点的不同取法数为4(C36－3)＝68.第二类，恰有2个点在α上，可分两种情形：①该2点在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为3C23·(C24－3)＝27；②该2点不在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为(C26－3C23)(C24－1)＝30.第三类，恰有1个点在α上，可分两种情形：①该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×3＝9；②该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×2＝6.第四类，4个点都不在α上，只有1种取法．应用分类计数原理，得所求的不同取法数为68＋27＋30＋9＋6＋1＝141.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．题型二分组分配问题例2按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【思路】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．【解析】(1)无序不均匀分组问题，先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15种．(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90种．(5)有序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A22＝15种．(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A33＝90种．(7)直接分配问题．甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C44种方法，共有C16C15C44＝30种．(1)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．对点训练【解析】6位志愿者分成四组有C26C24C12A22·A22＝45种方案，四组分赴四个不同场馆有A44＝24种方案，因此不同的分配方案有C26C24C12A22·A22·A44＝1080种．【答案】1080(2)6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法？【解析】人员分配有两类：1,1,1,3或1,1,2,2.先取人，后取位子．1,1,1,3：6人中先取3人有C36种取法，与剩余3人分到4所学校去有A44种不同分法，∴共C36A44种分法；1,1,2,2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C26C24C12A22A22种，然后分到4所学校去，有A44种不同的分法，共C26C24C12A22A22A44种分法．所以符合条件的分配方法有C36A44＋C26C24C12A22A22A44＝1560种．例38个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有________种．题型三名额分配问题(隔板法)【解析】一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定分数)将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有C47＝C37＝7×6×53×2×1＝35种．(插隔板)所以每盒不空的放法共有35种．【答案】35点评：(1)分定数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(2015·河北沧州市回民中学)有5个大学保送名额，计划分到3个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分法？对点训练【解析】一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份至少1个．(定分数)将5个名额排成一列产生6个空，中间有4个空．(定空位)即只需在中间4个空中插入2个隔板，隔板不同的方法共有C24＝6种．(插隔板)例4(1)(2014·北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．题型四综合问题【解析】利用排列知识求解．将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的排法共有A22A44－A22A33＝36种.【答案】36(2)(2015·衡水调研卷)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为()A．76B．78C．83D．84【解析】在集合S中任取三个数共有C39＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3－a2≤6，又最大数减去次大数大于6的情况只有1种，即a1＝1，a2＝2，a3＝9，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83，故选C.【答案】C(1)形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻数位的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．对点训练【解析】千位和十位只能有(3,5)，(4,5)这2种情形．当十位和千位为(3,5)时，3的左、右只有排1,2，共有A22A22＝4种；当十位和千位为(4,5)时，共有A22A33＝12种情形．∴共有12＋4＝16种情形．【答案】16(2)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为()A．600B．288C．480D．504【解析】对六节课进行全排列有A66种方法，体育课排在第一节课有A55种方法，数学课排在第四节课也有A55种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A44种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A66－2A55＋A44＝504.【答案】D