1.1 晒课正弦定理和余弦定理 第1课时

解三角形必修5第一章四川省沐川中学校邹汝润阅读本章引言思考下列问题：引言所提出的问题都归结为什么数学模型？这就是我们这一章要研究的任意三角形中边与角关系的有关知识1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理导入问题1：如图在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c；且a＝4，sinA=。能否求出此三角形其它的边和角？45导入问题2：如图△ABC中，∠A＝63.75○，∠B＝63.33○，BC＝9.67厘米。如何求出其它的边和角？问题2暂时不能直接解答，那么我们还是先回到问题1看看三边和对角正弦比值的关系：5sinsinsinabcABC任意三角形三边与对角正弦的比值关系几何画板结论：2sinsinsinabcRABC这就是正弦定理证明：(向量法)（1）当△ABC是锐角三角形时，如图(1)所示，过点A作单位向量i垂直于AB，因为AC→＝AB→＋BC→，所以i·AC→＝i·AB→＋i·BC→，所以b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即bsinA＝asinB，得asinA＝bsinB.同理可得asinA＝csinC，所以asinA＝bsinB＝csinC.证明正弦定理再在△ABC的外接圆中证得比值为2R(外接圆直径)(2)当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．图(2)综上可得:2sinsinsinabcRABC(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式，且比值等于外接圆直径．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．有有有关关关正正正弦弦弦定定定理理理的的的叙叙叙述述述：：：①①①正正正弦弦弦定定定理理理只只只适适适用用用于于于锐锐锐角角角三三三角角角形形形；；；②②②正正正弦弦弦定定定理理理不不不适适适用用用于于于钝钝钝角角角三三三角角角形形形；；；③③③在在在某某某一一一确确确定定定的的的三三三角角角形形形中中中，，，各各各边边边与与与它它它的的的对对对角角角的的的正正正弦弦弦的的的比比比是是是定定定值值值；；；④④④在在在△△△AAABBBCCC中中中，，，sssiiinnnAAA︰︰︰sssiiinnnBBB︰︰︰sssiiinnnCCC＝＝＝aaa︰︰︰bbb︰︰︰CCC．．．其其其中中中正正正确确确的的的个个个数数数是是是((()))A．1B．2C．3D．4B2．正弦定理的变形形式(((111)))aaa＝＝＝bbbsssiiinnnAAAsssiiinnnBBB＝＝＝cccsssiiinnnAAAsssiiinnnCCC，，，bbb＝＝＝aaasssiiinnnBBBsssiiinnnAAA＝＝＝cccsssiiinnnBBBsssiiinnnCCC，，，ccc＝＝＝aaasssiiinnnCCCsssiiinnnAAA＝＝＝bbbsssiiinnnCCCsssiiinnnBBB...(((222)))sssiiinnnAAA＝＝＝aaasssiiinnnBBBbbb＝＝＝aaasssiiinnnCCCccc，，，sssiiinnnBBB＝＝＝bbbsssiiinnnAAAaaa＝＝＝bbbsssiiinnnCCCccc，，，sssiiinnnCCC＝＝＝cccsssiiinnnAAAaaa＝＝＝cccsssiiinnnBBBbbb...(((333)))aaa：：：bbb：：：ccc＝＝＝sssiiinnnAAA：：：sssiiinnnBBB：：：sssiiinnnCCC．．．(((444)))边边边化化化角角角公公公式式式：：：aaa＝＝＝222RRRsssiiinnnAAA，，，bbb＝＝＝222RRRsssiiinnnBBB，，，ccc＝＝＝222RRRsssiiinnnCCC．．．(((555)))角角角化化化边边边公公公式式式：：：sssiiinnnAAA＝＝＝aaa222RRR，，，sssiiinnnBBB＝＝＝bbb222RRR，，，sssiiinnnCCC＝＝＝ccc222RRR...(((666)))aaasssiiinnnAAA＝＝＝bbbsssiiinnnBBB＝＝＝cccsssiiinnnCCC＝＝＝aaa＋＋＋bbb＋＋＋cccsssiiinnnAAA＋＋＋sssiiinnnBBB＋＋＋sssiiinnnCCC＝＝＝222RRR...其其其中中中，，，RRR为为为△△△AAABBBCCC外外外接接接圆圆圆的的的半半半径径径．．．在在在△△△AAABBBCCC中中中，，，BBB＝＝＝333000°°°，，，CCC＝＝＝444555°°°，，，ccc＝＝＝111，，，求求求边边边bbb的的的长长长及及及△△△AAABBBCCC外外外接接接圆圆圆的的的半半半径径径RRR...[解析]已知B＝30°，C＝45°，c＝1.由正弦定理，得bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1×sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝2，得R＝22.所以，b＝22，△ABC外接圆的半径R＝22.333．．．解解解三三三角角角形形形(((111)))定定定义义义：：：一一一般般般地地地，，，把把把三三三角角角形形形三三三个个个角角角AAA、、、BBB、、、CCC和和和它它它们们们的的的对对对边边边aaa、、、bbb、、、ccc叫叫叫做做做三三三角角角形形形的的的元元元素素素．．．已已已知知知三三三角角角形形形的的的几几几个个个元元元素素素求求求其其其他他他元元元素素素的的的过过过程程程叫叫叫做做做解解解三三三角角角形形形．．．(((222)))利利利用用用正正正弦弦弦定定定理理理可可可以以以解解解决决决的的的两两两类类类解解解三三三角角角形形形问问问题题题：：：①①①已已已知知知任任任意意意两两两角角角与与与一一一边边边，，，求求求其其其他他他两两两边边边和和和一一一角角角．．．②②②已已已知知知任任任意意意两两两边边边与与与其其其中中中一一一边边边的的的对对对角角角，，，求求求另另另一一一边边边的的的对对对角角角(((从从从而而而进进进一一一步步步求求求出出出其其其他他他的的的边边边和和和角角角)))．．．(((333)))已已已知知知两两两边边边及及及其其其中中中一一一边边边对对对角角角，，，判判判断断断三三三角角角形形形解解解的的的个个个数数数的的的方方方法法法：：：①①①应应应用用用三三三角角角形形形中中中大大大边边边对对对大大大角角角的的的性性性质质质以以以及及及正正正弦弦弦函函函数数数的的的值值值域域域判判判断断断解解解的的的个个个数数数．．．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解absinA两解a＝bsinA一解ab无解无解absinA无解图示已知a、b、A，△ABC解的情况．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ii)角A是锐角时不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝7，b＝14，A＝150°；(3)a＝9，b＝10，A＝60°.本课小结正弦定理正弦定理定理内容及推导变式三个变式变式的作用定理的作用?下节课探讨书面作业:P10A组第1~2题正弦定理正弦定理定理内容及推导变式三个变式变式的作用定理的作用解三角形已知两角和其中一边已知两边及其中一边对角三角形解的个数的判断常见类型判断方法书面作业：P10A组第1、2题评练习：P4练习