三角函数专题复习--学生

1金榜题名学校2019年秋季大邑校区名师培优精讲学科年级学生姓名授课教师上课时间课次数学高三吴老师2019第讲第1讲三角函数的图象和性质1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω0)三角函数专题复习22．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值y最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π2，k∈Zy最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π2，k∈Zy最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Zy最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[k·2π－π2，k·2π＋π2(k∈Z)]减区间[k·2π＋π2，k·2π＋3π2](k∈Z)增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)增区间(k·π－π2，k·π+π2)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Z对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z32.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝2π|ω|；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|.3．对称与周期：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．[课前练习]1．已知tanα＝－34，且α是第二象限角，那么cosα等于()A.45B．－45C.35D．－352．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈Z3．若sinx＝3sinx－π2，则cosx·cosx＋π2＝()A.310B．－310C.34D．－344．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．95．下列函数中同时具有以下性质的是()①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为π12，0.A．y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝sin2x－π34[扣要点——查缺补漏]1．同角三角函数基本关系式与诱导公式(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z，如T1.(2)诱导公式：角k2π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限，如T3.2．三角函数的图象及变换(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值，描出点作图．(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T4.特别提醒：由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度．3．三角函数的性质(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asint的性质．如T2，T5.(2)数形结合思想研究性质．考点一：三角函数的定义、诱导公式及基本关系[高考解读]高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．12．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.795[变式练习]1．若tanα0，则()A．sin2α0B．cosα0C．sinα0D．cos2α02．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．方法总结：三角函数求值与化简的3种方法1弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正弦、余弦；2和积转换法：利用sinθ±cosθ2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化；3巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ1＋tan2θ＝tanπ4.【课堂再练习】61．(同角三角函数基本关系式的应用)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－5122．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sinα＋2cosα＝0，则tanα＝________，2sinαcosα－cos2α＝________.4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈π4，3π4.若cosα＋π4＝－1213，则x0的值为________．考点二：三角函数的图象及应用[高考解读]高考对该部分内容的考查主要有两种方式：1考查三角函数图象变换；2由图定式并与三角函数的性质相结合.预计2020年还会这样考查.1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.1272．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π33．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z[变式练习]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到．2．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋8φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．9解题方法：1．图象变换抓“实质”图象变换的实质——点的坐标变换．三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．2．由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．【考点再练习】1．(图象变换)为了得到函数y＝2cos2x的图象，可以将函数y＝cos2x－3sin2x的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度B[因为y＝cos2x－3sin2x＝2cos2x＋π3＝2cos2x＋π6，所以要得到函2．(由图定式)已知函数f(x)＝－2cosωx(ω＞0)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个10单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为()A.π6B.56πC.π12D.512π3．(由图定式与三角函数性质的综合问题)已知P12，2是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f(x)的图象的对称中心可以是()A．(0,0)B．(1,0)C．(2,0)D．(3,0)4．(图象与解析式)已知ω＞0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.考点三：三角函数的性质及应用[高考解读]高考对该部分的考查多与三角恒等变换相结合，考查三角函数的周期性、单调性和最值问题，预计2020年将会延续上述命题规律.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4切入点：对f(x)＝2cos2x－sin2x＋2恒等转化．2．若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()11A.π4B.π2C.3π4D．π3．函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.154．函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．[变式练习]1．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，|φ|π.若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π242．(