1.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质---周期性(人教A版必修4)

yx0242y=sinx(x∈R)今天是星期三.7天后星期几？14天后、98天后呢？前面我们还研究了三角函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx它们也有类似的特征吗？探究1：观察正弦函数的图象，它具有哪些特征？.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2πsin(2)sin()xkxkZ诱导公式其理论依据是什么？问题探究正弦曲线每相隔个单位重复出现.探究2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？sin(2)sinxkxf(x+2kπ)=f(x)我们把f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).一、周期函数的概念探究3：我们把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，如何定义一般的周期函数呢？周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.探究4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答：周期函数的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．探究5：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy-1O1x222222222222y=cosx对余弦函数呢？余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．(1)观察等式是否成立？如果成立，能不能说是y=sinx的周期？sin()sin2442对于f(x+T)＝f(x)中每一个x都要成立答：不能.因为3sin)23sin((2)由诱导公式，是否可以说的周期为2π?xxcos(2)cos33xycos33cos)(xxf令)323cos(32cosxx)2(xf则针对f(x+T)＝f(x)中自变量x本身所加的常量T才是周期。2132cos)20(f所以的周期不是xycos3210cos)0(f)0()20(ffXX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)oyx4π8πxoy6π12πT是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)(3)T(T≠0)是f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期吗？(4)是不是所有的周期函数都有最小正周期？周期函数必有周期，但不一定有最小正周期。)()(为常数考虑函数ccxf例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;2x6解⑴∵3cos(x+2π)=3cosX∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π知识应用⑵y=sin2x,x∈R;sin(2x+2π)sin2x=解：∵sin2(x+π)=∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为π⑶y=2sin(-),x∈R;∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π]6)4(21sin[2x)621sin(2x]2)621sin[(2x2x6解：由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：这些函数的周期与解析式中的量有关吗？若有，有什么样的关系？2x6自变量的系数的绝对值πT221题号（1）（2）（3）x的系数12周期T2ππ4π一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?ω2πT限时抢答(1)3sinyx函数的最小正周期为2T(2)函数的最小正周期为_______x43cosy38T____)64cos()3(的最小正周期函数xy2T(4)函数的最小正周期为______)431sin(2xy6T2(5)函数的最小正周期为,则)4sin(4xy.____)0(函数周期求法：•1.定义法：•2.公式法：2(0)T•3.图象法:一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:1.判断下列说法是否正确,并简述理由：(1)时，,则一定不是函数y=sinx的周期；3x23正确(2)时，,则一定是函数y=sinx的周期．76x2sinsin3xx23不正确，因为在x=7π/6时成立,并不能保证对任意的x都有成立,如x=0时，就不成立.2sinsin3xx2sinsin3xx2sinsin3xx2sinsin3xx巩固练习2.求下列函数的周期：(1)y=2cos3x；(2)．sin3xy23T6T3．若函数的最小正周期为，则正数k=．sin5fxkx2334.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：（１）求该函数的周期；（２）求t＝10.5ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移．⑴周期为4；⑵－8cm.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.课堂小结1.周期函数的定义.2.最小正周期3.求周期函数的周期的常用方法（1）图象法（2）定义法（3）公式法作业：P46习题1.4：A组第3题.