2012年高考二轮复习三角函数与平面向量专题第3讲

第3讲平面向量【高考真题感悟】(2010·天津)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝________.解析方法一设BD＝a，则BC＝3a，作CE⊥BA交BA的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝1BD＝1a.在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB＝3a·1a＝3，∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝3AC.∴AD→·AC→＝|AD→|·|AC→|cos∠DAC＝AD·AC·3AC＝3.方法二∵AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋3BD→＝AB→＋3(BA→＋AD→)＝(1－3)AB→＋3AD→∴AC→·AD→＝[(1－3)AB→＋3AD→]·AD→＝(1－3)AB→·AD→＋3AD→2＝3.答案3考题分析本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积．若从深层考虑，又考查了平面几何的基本方法，体现了知识与能力的考查．是平面向量考查的一个重要方向．易错提醒(1)从方法一的角度看，易忽视作辅助线，将问题分解．(2)从方法二的角度看，不能把AC→用AB→、AD→线性表示．(3)忽视AB→·AD→＝0，AD→2＝1这些隐含条件的应用．主干知识梳理1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.热点分类突破题型一向量的有关运算问题例1已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn＝________.解析方法一|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，不妨假设点C在AB上，且∠AOC＝30°.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0，3)，C点坐标为34，34，OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，所以存在m＝34，n＝14使假设成立，此时mn＝3.方法二由条件|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴的直角坐标系，则OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)．由OC→＝mOA→＋nOB→，得OC→＝(m，3n)．又因为∠AOC＝30°，点C在∠AOB内，可得3nm＝tan30°＝13，nm＝13，即mn＝3.探究提高(1)由OA→·OB→＝0知OA⊥OB，所以建立坐标系是解决此类题目的关键．(2)熟练掌握向量的线性运算等．(3)向量坐标化，使实数运算得以体现．答案3题型二有关向量的平行、垂直问题例2已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？解(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，故a＋3b＝(7,3)，所以|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)据题意，有ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因为ka－b与a＋3b平行，探究提高(1)把向量坐标化，利用向量的坐标进行运算，使实数运算得以体现．(2)注意区别向量共线与向量垂直的坐标运算的不同，混淆两者的运算是丢分的一个重要因素．所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－13.此时ka－b＝－73，－1，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．题型三向量与三角函数的综合应用例3已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(3cosx，cosx)且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若a∥b，求tanx的值；(3)若a⊥b，求x的最小正值．思维启迪(1)根据已知求f(x)的解析式，再由三角函数的单调性求f(x)的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求tanx的值；(3)a⊥b⇒a·b＝0，得到关于x的三角等式，进而求出x的最小值．解(1)f(x)＝2a·b－1＝2(3sinxcosx＋cos2x)－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.(2)由a∥b，得sinxcosx－3cos2x＝0，∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx－3＝0，∴tanx＝3.(3)若a⊥b，则a·b＝0.∴3sinxcosx＋cos2x＝0.∵b≠0，∴cosx≠0.∴3tanx＋1＝0，即tanx＝－33.∴x＝kπ＋5π6，k∈Z.∴当k＝0时，x有最小正值5π6.探究提高向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．规律方法总结1．利用数量积研究向量的平行和垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则位置关系向量式坐标式a∥b|a·b|＝|a|·|b|x1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝02.利用数量积研究夹角问题设〈a，b〉＝θ，则cosθ＝a·b|a||b|，数量积的符号夹角θ的大小或范围a·b0θ为锐角或零角a·b＝0θ＝90°a·b0θ为钝角或平角3.利用数量积求向量的长度(或模)条件计算公式a＝(x，y)|a|＝a2＝x2＋y2A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB→|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2名师押题我来做1．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥a－52b，则a与b的夹角为________．押题依据本题主要考查向量的数量积、向量垂直的充要条件等基础知识及运算能力，属于中等偏易题．高考基本上每年都会涉及此类试题，且题型变化不大，大多以基本概念的考查形式命制，所以在备考中掌握基础知识，能熟练运算即可．押题级别★★★★解析因为(a＋b)⊥a－52b，所以a2－52b2－32a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－52－32a·b＝0，所以a·b＝1.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝12.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为π3.答案π32．已知向量a＝(2cosα，2)，b＝(2,2sinα)．(1)若a⊥b，求α的取值集合；(2)求|a＋b|的最大值及相应的α的取值集合．押题依据向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角函数综合的题目是高考的一类热点题型．本题主要考查了向量垂直的充要条件，向量模的最值及灵活应用三角公式解决问题的能力，故押此题．押题级别★★★★解(1)由a⊥b，得a·b＝(2cosα，2)·(2,2sinα)＝4cosα＋4sinα＝0，∴tanα＝－1.∴α＝－π4＋kπ，k∈Z.故α的取值集合为{α|α＝－π4＋kπ，k∈Z}．(2)由a＝(2cosα，2)，b＝(2,2sinα)，得a＋b＝(2cosα＋2,2sinα＋2)，∴|a＋b|＝(2cosα＋2)2＋(2sinα＋2)2＝12＋82sin(α＋π4).当sin(α＋π4)＝1，即α＝π4＋2kπ(k∈Z)时，|a＋b|取得最大值为22＋2.相应的α的取值集合为{α|α＝π4＋2kπ，k∈Z}．返回