2012年高考数学理科二轮复习课件 2.2 导数及其应用

第2讲导数及其应用重点知识回顾1．导数的定义：f′(x0)＝2．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．常见函数的导数公式(c)′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈Q)；(sinx)′＝cosx;(cosx)′＝－sin_x;(logax)′＝logae;(ex)′＝ex；(ax)′＝axln_a；(lnx)′＝．limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0f(x0＋nΔx)－f(x0)nΔx1x1x4．导数的应用(1)设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)≥0(不恒为0)，则f(x)为增函数；如果f′(x)≤0(不恒为0)，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3)在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．①求函数f(x)在(a，b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．主要考点剖析考点一导数的基本应用命题规律以选择题、填空题等主观题目的形式考察导数的基本概念、运算、导数的物理意义、几何意义及利用导数与不等式研究函数的单调性．●例1(1)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()(A)[－1，＋∞)．(B)(－1，＋∞)．(C)(－∞，－1]．(D)(－∞，－1)．(2)（2011年唐山一模）曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()(A)e2．(B)4e2．(C)2e2．(D)e2．121292【解析】(1)f′(x)＝－x＋，则问题即为－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立,可化为b≤(x＋2)x＝x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，而x2＋2x在(－1，＋∞)上大于－1，则b≤－1．(2)y′＝(ex)′＝ex,曲线在点(4，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为y－e2＝e2(x－4)，则切线与坐标轴交点为A(2,0)，B(0，－e2)，所以S△AOB＝|－e2|×2＝e2．[答案](1)C(2)D【点评】(1)本题考查了化归与转化的思想，将函数的单调性问题转化为不等式恒成立的问题；(2)本题考查复合函数的导数求导法则和导数的几何意义．2bx2bx121212121212★互动变式1(1)设a∈R，若函数y＝eax＋3x,x∈R有大于零的极值点，则()(A)a－3．(B)a－3．(C)a－．(D)a－．(2)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于()(A)－1或－．(B)－1或．(C)－或－．(D)－或7．1313154256421474256474【解析】(1)y′＝3＋aeax，函数y＝eax＋3x在x∈R上有大于零的极值点，即y′＝3＋aeax＝0有正根．当有y′＝3＋aeax＝0成立时，显然有a0，此时x＝ln(－)，由x0我们马上就能得到参数a的范围为a－3．(2)设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，即y＝3x02x－2x03．又(1,0)在此切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1．[答案](1)B(2)A1a3a32154256432274274154考点二利用导数研究曲线的切线与函数的性质命题规律利用导数工具研究曲线的切线与函数的函数的单调性、极值、最值常常会以解答题的形式出现．●例2已知函数f(x)＝x3－x．(1)求曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；(2)若过点P(1，m)可作曲线f(x)的三条切线，求m的取值范围；(3)设a0，如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，证明：－abf(a)．【分析】要求切线方程，关键是确定切线的斜率．从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程；要使过点可作三条切线即求切线方程有三个不同的实数解．【解析】(1)∵f′(x)＝3x2－1，∴曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为：y－f(t)＝f′(t)(x－t)，即y＝(3t2－1)x－2t3．(2)过点P(1，m)的切线方程为m＝－2t3＋3t2－1，由已知，直线y＝m与g(t)＝－2t3＋3t2－1的图象有三个不同的交点，又∵g′(t)＝－6t(t－1)，g(t)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增．要使y＝m与g(t)的图象有三个不同的交点，则m必在g(t)的两个极值之间．g(0)＝－1，g(1)＝0，所以m∈(－1,0)．(3)如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b＝(3t2－1)a－2t3．于是，若过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＋b＝0有三个相异的实数根．记g(t)＝2t3－3at2＋a＋b，则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当t变化时，g(t)，g′(t)变化情况如下表：由g(t)的单调性，当极大值a＋b0或极小值b－f(a)0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；当a＋b＝0时，解方程g(t)＝0得t＝0，t＝，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；t(－∞，0)0(0，a)a(a，＋∞)g′(t)＋0－0＋g(t)↗极大值a＋b↘极小值b－f(a)↗当b－f(a)＝0时，解方程g(t)＝0得t＝－，t＝a，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根．综上，如果过(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，即g(t)＝0有三个相异的实数根，则即－abf(a)．【点评】本题考查导数的几何意义．求曲线切线的斜率是导数的重要应用之一，在教学中要把握“点在曲线上”和“点在曲线外”这二种求切线方程的方法．2aa＋b0，b－f(a)0.★互动变式2已知函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1,2)，且在P点处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．【解析】(1)∵f′(x)＝3ax2＋2bx，∴由题意有∴∴f(x)＝x3＋3x2．(2)令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≤－2或x≥0，∴f(x)在区间(－∞，－2]和[0，＋∞)上都是增函数，∴由题意，有[m，m＋1]⊂(－∞，－2]或[m，m＋1]⊂[0，＋∞)，∴m＋1≤－2或m≥0，∴m∈(－∞，－3]∪[0，＋∞)．f(－1)＝－a＋b＝2，f′(－1)＝3a－2b＝－3，a＝1，b＝3，考点三导数与极值、最值命题规律利用导数求函数的极值与最值是高考常见题型，要注意极值与最值的区别，本内容也常用于实际问题．●例3设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2．(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．【分析】(1)极值点即f′(2)＝0，解方程即得a；(2)g(x)的最大值为g(0)，即g(x)≤g(0)在x∈[0,2]上恒成立，转化为求分式函数的最小值问题．【解析】(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1．经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．(2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x，g(x)≤g(0)恒成立．即ax2(x＋3)≤3x(x＋2)对x∈[0,2]恒成立．当x＝0时，上式恒成立；当x∈(0,2]时，a≤恒成立．下面求函数h(x)＝，x∈(0,2]的最小值．∵h′(x)＝0，∴h(x)在(0,2]上是减函数.h(x)min＝h(2)＝，所以a≤．【点评】本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力．2363xxx2363xxx2223(46)(3)xxxx6565★互动变式3已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax，因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0．又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0．(2)令f′(x)＝0，即3x＝0，解得x1＝0，x2＝．23ax23a①当≤0，即a≤0时，如图(1)f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．②当02，即0a3时，如图(2)，f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时，f(x)在区间[0,2]上的最大值只能是f(0)或f(2)．其中当0a≤2时，f(x)max＝f(2)＝8－4a，而当2a3时，f(x)max＝f(0)＝0．23a23a203a,223a,③当≥2，即a≥3时，如图(3)，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．综上所述，f(x)max＝图(1)图(2)图(3)8－4a，a≤2，0，a2.23a