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课时13匀速圆周运动考点一描绘圆周运动的几个物理量►基础梳理◄1．圆周运动的线速度概念：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫线速度的大小，即线速率．表达式：线速度大小用公式v＝＝计算．基本特征：线速度是做圆周运动的瞬时速度，是矢量，不仅有大小，而且有方向，且方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动．线速度的方向就是圆周在该点的切线方向．2．圆周运动的角速度概念：做匀速圆周运动的物体其半径转过的角度跟所用时间的比值，叫做物体的角速度．表达式：角速度用ω＝定义，用以描述质点绕圆心转动的快慢．基本特征：角速度是描述圆周运动的特有概念．在国际单位制中，角度用弧度(rad)表示，故角速度的单位是弧度/秒，符号为rad/s.3．向心加速度概念：描述线速度方向改变快慢的物理量．表达式：向心加速度用a＝＝ω2r表示．基本特征：总是指向圆心，方向时刻发生变化．►疑难详析◄1．几个物理量之间的关系：v＝＝ωr＝2πf·r.2．做圆周运动物体的向心加速度a＝＝ω2r，在ω不变的情况下a与r成正比；在v不变的情况下a与r成反比．►深化拓展◄1．实际中所说的转数是指做匀速圆周运动的物体每分钟转过的圏数，用n表示，单位是转每分(r/min)．2．要特别指出的是，只有角速度以rad/s为单位时，才有v＝rω的关系．考点二向心力的特点及计算►基础梳理◄概念：匀速圆周运动的向心力是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小．表达式：对于匀速圆周运动物体，其向心力应由其所受合外力提供，Fn＝man＝m＝mω2r＝mr＝4π2mf2r.►疑难详析◄竖直平面内圆周运动最高点处的受力特点分三种情况进行讨论．图1(3)弹力既可能向上又可能向下，可取任意值，如管内转球(或杆连球，环穿珠)(图1丙)．但可以进一步讨论：当v时小球受到的弹力必然是向下的，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大；当v时小球受到的弹力必然是向上的，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mgFN0.这表明，物体在最高点时速度可以为零，此时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即FN＝mg；当v＝时物体受到的弹力恰好为零．当弹力大小Fmg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F＋mg；当弹力F＝mg时，向心力等于零．►深化拓展◄向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率．速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢；当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢．题型一圆周运动中各物理量的关系图2A．a点与b点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的线速度大小相等D．a点与d点的向心加速度大小相等[分析]此题综合考查相关联物体在圆周运动问题中的线速度、角速度、向心加速度的大小关系，关键要抓住两点，一是皮带传动不打滑时，轮缘上各点的线速度大小相等；二是同一转动物体上各点角速度相同，进而确定其他关系．[解析]选项诊断结论Avc＝2rω，vb＝rω，所以vc＝2vb，又va＝vc，所以va＝2vb×Bva＝rωa，vb＝rωb，由va＝2vb得ωa＝2ωb×Ca、c是皮带连接的两轮边缘上的点，线速度大小相等√D设a点线速度为v，则c点线速度也为v，对c点，v＝2rω，对d点，vd＝4rω＝2v，aa＝，ad＝，故a点与d点的向心加速度大小相等√[答案]CD题后反思：相关联物体的圆周运动问题，抓住以下两点：(1)固定在一起共轴转动的物体上各点的角速度相等．(2)不打滑的摩擦传动，皮带轮传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等．图3如图3所示，某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示．前后轮直径为660mm，人骑自行车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为()A.1.9rad/sB．3.8rad/sC．6.5rad/sD．7.1rad/s名称链轮飞轮齿数N/个483828151618212428故ω3＝rad/s＝3.75rad/s≈3.8rad/s.答案：B题型二向心力的分析和计算[例2]小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图4中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系．(小球的半径远小于R)图4题后反思：应用向心力公式解题的步骤1．确定研究对象，确定轨道平面和圆心位置从而确定向心力的方向．2．选定向心力方向为正方向．3．受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)．4．由牛顿第二定律和平衡条件列方程：沿径向有：F向＝ma向沿切向有：F切＝05．求解并说明结果的物理意义．图5一水平放置的圆盘，可以绕中心O点旋转，盘上放一个质量是0.3kg的铁块，铁块与中间一根质量可以不计的弹簧秤相连接，如图5所示．铁块随圆盘一起匀速转动，角速度是10rad/s时，铁块距中心O点40cm远，这时弹簧秤的示数是10N，则圆盘对铁块的摩擦力的大小是__________．解析：铁块做的是匀速圆周运动，所以其合外力肯定指向圆心，并且合外力的大小肯定应该等于F＝mrω2＝12N，此时弹簧秤的示数是10N，所以摩擦力的大小应该等于2N，方向指向圆心．答案：2N题型三竖直平面内的圆周运动图6[例3]长l＝0.5m、质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动，如图6所示，在A通过最高点时，试讨论在下列两种情况下杆的受力：(取g＝10m/s2)(1)当A的速率v1＝1m/s时．(2)当A的速率v2＝4m/s时．图7[解析]小球在最高点的临界速度v0＝gl＝5m/s，小球的速度大于5m/s时受拉力，小于5m/s时受压力．(1)当v1＝1m/s5m/s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N，如图7所示．由牛顿第二定律mg－N＝mv2l得N＝mg－mv2l＝16N由牛顿第三定律知，杆受小球的压力为16N.(2)当v2＝4m/s5m/s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，如图8所示．由牛顿第二定律mg＋F＝mv2l，得F＝mv2l－mg＝44N由牛顿第三定律知，杆受小球的拉力为44N.[答案](1)16N压力(2)44N拉力图8题后反思：杆——球模型中，需要计算一下杆对球的作用力(可能有三种)，此题出现了杆对球的力可能是拉力，可能是推力，其实，杆对球可能没有作用力，即当v＝时．如图9所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，求：(g取10m/s2)(1)小球在最高点A时的速度vA为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？(2)如m＝0.5kg，L＝0.5m，vA＝0.4m/s，则在最低点B时，杆对小球m的作用力是多大？图9答案：(1)(2)25.3N图101．(2008·宁夏高考)如图10为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是()解析：皮带连接着两轮的转动，从主动轮开始顺时针转动沿着皮带到从动轮，可知从动轮是逆时针转动，则A错误，B正确．二轮转速之比满足(线速度相等)得n2＝n1即C正确，D错误．答案：BC2．假设“神舟五号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r，则计算其运行周期可用()A．①③B．①④C．②③D．②④答案：A图113．如图11所示是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98m，世界排名第五．游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25min，每个厢轿共有6个座位．(1)试判断下列说法中正确的是()A．每时每刻，每个人受到的合力都不等于零B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变(2)观察上图可以估算出“摩天转轮”座位总数为()A．324座B．336座C．378座D．408座解析：(1)转轮匀速转动，位于其厢轿中的人亦做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，有加速度(向心加速度)，故人所受合力不为零．同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心力的方向随时改变，因此，座位对人的压力必定要发生变化(最高点与最低点明显不同)．另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其动能不变，但乘客的重力势能发生变化，故其机械能发生变化．因此，答案应为A.(2)观图可知座位数为9×7×6＝378(座)．答案：(1)A(2)C图124．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图12所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．解析：设转盘转动角速度为ω时，夹角为θ.座椅到中心轴的距离R＝r＋Lsinθ对座椅分析有F向＝mgtanθ＝mRω2联立两式得ω＝答案：ω＝图135．如图13所示，在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°.物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动：(1)当v1＝时，求绳对物体的拉力；(2)当v2＝时，求绳对物体的拉力．图14解析：当物体的速率较小时，物体在圆锥面上运动，受到重力mg，绳的拉力FT和圆锥面的弹力FN作用．当物体的速率v超过某个数值时，物体将和锥体表面脱离接触，此时物体只受重力mg和绳的拉力FT作用．如图14所示，物体在锥面上运动，但FN＝0，物体只受重力mg和绳的拉力FT作用，其合力应沿水平面指向轴线，由图可知：F＝mgtanθ，①