2012高考专题复习第二部分 7天 集合、函数与导数

[例1]已知集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N中元素个数是()A．0B．0或1C．0或2D．0或1或2在研究集合时，要明确集合中元素的含义，对解决集合问题很有用处．[答案]A研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定，互异，无序)；特别是无序性．[例2]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[答案]A在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A时，易忽略A是空集∅的情况．[例3]已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若BA，则实数m的取值集合是________．[答案]{－12，0，13}在集合问题中，用数轴法取交集、并集是一种常用的方法，求解时，端点值易忽略．[例4]已知全集U＝R，集合A＝{x|x－2或x3}，B＝{x|－1≤x≤4}，那么集合(∁UA)∩B＝()A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案]D“否命题”是对原命题“若p则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[例5]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.写出该命题的否命题和命题的否定．[答案]否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b.命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b.对于充要条件，解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断．[例6](2010·广东高考)“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[答案]A函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多，函数是数到数的特殊映射．[例7]设A＝{三角形}，B＝{圆}，建立对应法则f是对三角形作外接圆，下列说法正确的个数是()①不是A到B的映射②是A到B的映射③是A到B的一一映射④是A到B的函数A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．[例8]函数y＝log12x－2的定义域是________．(0，14][答案]用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[例9]已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝________.[答案]1－x2(x∈[－1,1])求反函数时，易忽略求反函数的定义域．[例10]函数y＝1＋x(0≤x≤4)的反函数是__________．[答案]y＝(x－1)2(1≤x≤3)判断函数的奇偶性时，易忽视函数具有奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称．[例11]判断函数f(x)＝(x－1)1＋x1－x的奇偶性．[答案]非奇非偶求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间．[例12]函数f(x)＝1x的减区间为________．[答案](－∞，0)，(0，＋∞)“实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数解”转化为“Δ＝b2－4ac≥0”，你是否注意到必须a≠0；当a＝0时，“方程有解”不能转化为Δ＝b2－4ac≥0.若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？[例13]若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则()A．a≤1B．0a1C．a1D．0a≤1或a0[答案]A对数的换底公式及对数恒等式可不要忘记．[例14]化简＝________.4(log32)2－34[答案]若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．若f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域就是求x∈[a，b]的g(x)的值域．[例15](1)已知f(x)的定义域为[0,2]，则f(x2)的定义域是_____．(2)已知f(x2)的定义域是[0,2]，则f(x)的定义域是________．(1)([－2，2])(2)[0,4][答案]有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1fx(f(x)≠0)，或f(x＋a)＝－f(x)(f(x)≠0)，则f(x)的周期T＝2a.[例16]已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－1fx，若当2x3时，f(x)＝x，则f(2007.5)＝________.－25[答案]导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率；求过一点的切线方程，要验证该点是否在曲线上．[例17]已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点P(π3，1)，则函数图象上过点P的切线斜率等于()A．1B.3C．－3D．－1[答案]C利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f′(x)≥0或f′(x)≤0，带上等号．[例18]已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3[答案]Df′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．(1)f(x)取得极值的充要条件：定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在．例如函数y＝|x|，结合图象知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒考生一定要注意对极值点进行检验．[例19]函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0[答案]D