2013―2015立体几何考题分析(全国卷)

高考立体几何考题分析一考纲要求二高考真题三规律总结四备考策略五难点突破1．空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的4个公理和等角定理.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理.理解线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理，并能够证明。（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、考试说明看考试要求（一）全国卷《考试说明》要求3.空间向量与立体几何（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（4）理解直线的方向向量与平面的法向量.（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.一、考试说明看考试要求（一）全国卷《考试说明》要求全国卷一1．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm3二、近三年全国卷2．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π二、近三年全国卷3．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．二、近三年全国卷4.（2014课标全国Ⅰ，理12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4二、近三年全国卷5.（2014课标全国Ⅰ，理19）(本小题满分12分)如图三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC.（I）证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，AB=Bc，求二面角111AABC的余弦值.二、近三年全国卷6.（2015课标全国Ⅰ，理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛二、近三年全国卷7.（2015课标全国Ⅰ，理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）（A）1（B）2（C）4（D）8二、近三年全国卷8.（2015课标全国Ⅰ，理18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.二、近三年全国卷全国卷二1．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l2.(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．二、近三年全国卷3．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．二、近三年全国卷4.（2014课标全国Ⅱ，理6）.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.13二、近三年全国卷5.（2014课标全国Ⅱ，理11）.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.3010D.22二、近三年全国卷6.（2014课标全国Ⅱ，理18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.二、近三年全国卷7.（2015课标全国Ⅱ，理6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）（A）18（B）17（C）16（D）158.（2015课标全国Ⅱ，理9）已知A，B是O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）（A）36（B）64（C）144（D）256二、近三年全国卷9.（2015课标全国Ⅱ，理19）如图，长方体ABCD-1111ABCD中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在11AB，11DC上，11AEDF=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方体。（Ⅰ）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值。二、近三年全国卷三、试题特点及命题规律：1.立体几何在高考中一直占据重要的地位，总体稳定，稳中求新。2.考题遵循《大纲》和《考试说明》，立足基础，贴近教材，突出能力考查。三、试题特点及命题规律：3.从题型上看：选择题、解答题为主，有二至三题。“一大二小”或“一大一小”，分值17-22左右。三、试题特点及命题规律：4.从难度上看：以容易题和中档题为主，小题一般处于选择题中间或靠后位置，大题位于解答题第三题左右位置。三、试题特点及命题规律：5.从考点看：重点考查点线面位置关系的判定与证明、三视图、表面积、体积、与其他知识结合等，线线角、线面角、二面角的计算。（一）重视知识网络构建，关注细节：平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间几何体空间几何体的结构空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积和体积空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系四、复习建议：重视基础，强调落实立体几何初步空间向量运算的几何意义如：平行四边形法则等空间向量的定义及其运算用空间向量表示点、平面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量的运算解决立体几何中的问题空间向量运算的坐标表示（加法、减法、数乘、数量积）空间向量与立体几何四、复习建议：重视基础，强调落实位置关系的判定与证明:线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直*准确记忆定义、定理的条件与结论；*改变条件、构造命题、判断真假；*正确利用定理进行推理证明，掌握每种位置关系的常见证明方法，并能够理解它们之间的关系;四、复习建议：重视基础，强调落实（二）重视学生空间想象能力的培养：（1）培养学生识图、想图、画图的能力，特别是由三视图画立体图的能力（2）培养学生对图形的处理能力，注意突出典型图形，同时又要注意多注不规则的空间几何体，增强应变能力。（3）对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。四、复习建议：重视基础，强调落实（五）注重解题的表述与书写的规范性从立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一作、二证、三求解”。这里，比较常见的有线面平行缺少线在面外，线面垂直缺少两线相交，求角不答题等。四、复习建议：重视基础，强调落实（六）空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用，使得有些比较复杂的位置关系和数量关系转化成了空间向量的运算问题，给学生解决立体几何问题提供了一种有效的方法。但在解决问题的过程中也有许多值得注意的地方：（1）建系问题：不是所有的立体几何问题都可以直接建系的，条件中具备三垂直可直接建系，没有则需证明后才能建系，还要注意规则图形与不规则图形的建系；（2）注意要将几何问题向量化，向量的结论还原为几何结论（如线面垂直的证明）；（3）利用向量运算解决空间角问题，在解决线面角和二面角时容易出现错误，要多加注意。（4）不是所有的问题都要用向量解决。