6.弯曲应力

弯曲应力主讲教师：邹翠荣2020年6月12日星期五第五章弯曲应力第一节纯弯曲剪切弯曲：纯弯曲：PPPPaa剪切弯曲（横力弯曲）：AB、CD段纯弯曲：BC段QMPPPa(+)(+)(-)PPaaABCD一、纯弯曲试验与假设假设1：梁的各纵向纤维间无挤压，所有与轴线平行的纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩。假设2：各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角度。——梁在纯弯曲时的平截面假设。纵向纤维既没伸长也没缩短的层——中性层中性层与横截面的交线——中性轴（z轴）梁在纯弯曲的情况下，所有横截面仍保持为平面，只是绕中性轴作相对转动且每根纵向纤维都处于轴向拉伸或压缩的简单受力状态。中性层中性轴受压区受拉区二、梁横截面上的正应力1、变形几何关系：C：为曲率中心：为曲率半径d：相对转角纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比。bboodooydbbydddybbbbbbbbCda/a/o/b/o/b/dxyxMM2、物理关系：纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力，当正应力没有超过比例极限时，应用虎克定理：横截面上任意一点处的正应力与该点距中性轴的距离成正比。即：正应力沿截面高度成线性规律分布。max：发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。yEEy3、静力学关系：（确定中性轴位置）中性轴通过截面形心0AAdN0AAdyE0AAdy0ZS横截面对Z轴静矩为零0AAydzMMdyMAAzyzdAMMZ令：梁在纯弯曲时其横截面上任意点处的正应力计算公式MdyMAAzyEMdyEyAAMdyEAA2AAZdyI2MIEZZEIM1ZIyMZWMmaxmaxyIWZZIZ：横截面对Z轴的惯性矩ZWZ：抗弯截面模量。量刚：mm3或m3ZIyMZWMmaxzyhbdzy123bhIz62bhWz62hbWy123hbIy644dIIyz323dWWyz第三节横力弯曲时的正应力当：5hL按纯弯曲理论得出的正应力计算公式计算剪切弯曲梁横截面上的正应力误差不超过1%。剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式：ZIyxMxZWxMxmax例题1：简支梁受力如图所示，计算当梁按(1)、(2)两种情况放置时，(竖放、平放)求：m--m截面上点（1）、（2）处的正应力ABCDKNP5mm180180+M900N.m30601220zyMPaIyMZ3.3310603012110209001233)2()(501060306190092max压MPaWMZMPaWMZ100maxKNP5yz100200abc例题2：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩60KN作用。试求：横截面上点a、b和c处的弯曲正应力解：由正应力计算公式：46124444106.73101002006414.364mdDIZZIyM)(75.40106.7310501060633压MPaIyMZayz100200abc0b)(5.81106.73101001060633拉MPaIyMZcZ1505015050例题3：T型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受负弯矩3.1kn.m。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力。1确定形心mmyc755015021255015025501504623231013.535050150121505050501501250150mIZ2截面对中性轴的惯性矩：75125zyMPaIyMZ37.41013.531075101.3633)(maxMPaIyMZ29.71013.5310125101.3633)(maxZ150501505075125zy第四节弯曲时的剪应力以矩形截面梁为例讨论梁的弯曲剪应力。第四节弯曲时的剪应力一、矩形截面梁xxdABC假设：横截面上剪应力的分布规律：1、横截面上剪应力方向平行于剪力Q。2、剪应力沿截面宽度均匀分布。QCzy2N1NMZZAAZAAZAASIdMMdyIdMMdIydMMdN112)(ZZSIMN1bddQxdQNN12bdSIMSIdMMxZZZZbISddMZZxdMMxdyzhbxdy1yQxdbISQZZxd2N1NyzhbxdQQ：横截面上的剪力。IZ:整个横截面对中性轴的轴惯性矩:横截面上任意点处剪应力b:所求点处的受剪宽度SZ:所求点处横线以外部分面积对中性轴的静矩。1.矩形截面剪应力分布：Qy1dy1bhQy230maxbIQSZZ例题4：由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示，试求：胶合面上的1、2点处剪应力和总剪力。12P=3KNz150100y11m3410255050100mmSZ4533102811215010012mmbhIzbIQSZZ剪应力互等定律：截面对称：胶合面上的总剪力：bIQSZZz150100y112P=3KN1mMPa267.0MPa267.021KNAQ7.2610100110267.036MPa267.0101001028110251033753例题5:试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力，(2)此截面最大正应力,(3)全梁最大正应力、最大剪应力。解：KNRRBA90mKNM.6021609011ZIyM)21(11、（压）MPa7.6110180120121060106012333mknq60m1m211180120ZY30AA1112ZWMmax11mKNqlM.5.67812maxKNQ90maxZWMmaxmaxbISQzzmaxmaxmaxmknq60m1m211180120ZY30AA1112MPa6.921018012061060923MPa104101801206105.67923MPa25.61012010180120121045120901090312393塑性材料正应力强度条件：梁的强度条件1、正应力强度条件：塑性材料：由于塑性材料的[]拉=[]压，为使最大工作拉应力和压应力同时达到[]，梁截面通常做成对称于中性轴：ZWMmaxZWMmaxmax脆性材料：由于[拉][压]，为了充分利用材料，通常将截面做成不对称于中性轴的形状。设计时尽量使中性轴靠近受拉边。ZIyM1maxmaxZIyM2maxmaxy1y2zymaxmax对脆性材料进行强度校核时,不仅需要验算最大弯矩所在截面上的应力情况,有时还需验算与最大弯矩符号相反的较大弯矩截面上的应力情况2、剪应力强度条件：bISQzzmaxmaxmax0.25m0.75mc正方形截面的悬臂梁,尺寸及所受荷载如图所示,材料的[]=10MPa，现需在截面C的中性轴处钻一直径为d的圆孔,试求:在保证梁的正应力强度条件下,圆孔的最大直径d=？q=2kn/m5KNyz160160dmKNMC.31.4275.021575.02正应力的强度条件：63433)()(101016012116012110801031.4maxdIIyMBZAZccmmmd7.1141147.0一外伸工字梁，工字钢型号为22a，梁上荷载如图所示，已知：L=6m，材料的许用应力[]=170MPa[]=100MPa，试验算该梁是否安全。解：查22a表得：首先求支反力画出剪力、弯矩图P=30KNq=6KN/mL/3L/2L/2QM1212171339KNRKNRBA1329，knQmknM17.39maxmaxmmdmSImWZZZ5.7189.010309.0max33+---+全梁安全knQmknM17.39maxmaxmmdmSImWZZZ5.7189.010309.0max33P=30KNq=6KN/mL/3L/2L/2QM1212171339+---+MPaMPaWMz17012610309.0103933maxmaxMPaMPabISQz10012105.7189.0101733maxmaxmax例题8：图示简支梁由N020a工字钢制成，在外荷载作用下，测得横截面C处梁底面的纵向正应变为=3.010-4。试计算梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力已知：E=200GPa，a=1m，解：首先求支反力根据虎克定律：mmdmmSImmWZZZ717210237max33，qaRqaRBA4341，4100.3CEMPaC60100.31020039qa2qQM3qa/4qa2/43qa2/4qa2/32-+-+qa/4ABCaa/2a/2正应力计算公式：又由弯矩图可知：QM3qa/4qa2/43qa2/4qa2/32-+-+qa/4ABCaa/2a/2zCCWMmKNMC.22.1410237106066MPaC60283qaMC2max43qaMmknq/92.37MPaWMz1201023711092.3775.0623maxmaxMPabISQz6.231071017211092.3775.0333maxmaxmax梁的截面为N010工字钢,B点由圆杆CD支承.已知:圆杆的直径d=20mm，梁及圆杆材料相同[]=160MPa。试求：许用均布荷载[q]=？解：首先求约束反力根据CD杆的轴拉强度条件：ABCD2m1mqRCD25.26621016010204125.2qANmknq/.22qqqqM2175.0212175.075.075.022mknq7.15ABCD2m1mMq/22maxqMzWMmaxmax6931016010104921qmknq/7.15梁的受力如图,材料的[+]=40MPa，[-]=100MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若将此截面倒置（外力不变）此梁是否合理。mmyC1393017020030853017018520030Zq=10KN/mP=20KNABCD2m3m1mQM2010102010-+--[phone]Czy61139mKNMmKNM.10.20max，462323103.40217013917030121703023061302001230200mIZ）（）（MPaMPaIyMZ402.30103.40106110206331maxmaxMPaMPaIyMZ10069103.401013910206332maxmax截面:Bq=10KN/mP=20KNABCD2m3m1m3017030200Czy61139QM2010102010-+--+mKNMmKNM.10.20maxMPaMPaIyMZ405.34103.401013910106332max