搜索
1第一节圆第二节圆的轴对称性第三节圆心角第四节圆周角第五节弧长及扇形的面积第六节侧面积及全面积六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O，另一端点P所经过的叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做圆的，以点O为圆心的圆记作，读作圆O。2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P到圆心O的距离为d，⊙O的半径为R，则：点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内。6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上7、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。8、过的三点确定一个圆。9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD，如图所示，试说明：矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上DBCA【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（）A.4个B.3个C.3个D.2个例2、下列说法中，错误的是（）A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆例3、下列命题中，正确的是（）A．三角形的三个顶点在同一个圆上B．过圆心的线段叫做圆的直径C．大于劣弧的弧叫优弧D．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径7、圆周角定理8、圆周角定理的推论9、圆锥的侧面积与全面积2DBCOAENMBA例4、下列四个命题：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（）A.4个B.3个C.3个D.2个【题型三】点和圆的位置关系的判断例1、⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为【题型五】圆中角的求解如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩固练习1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC，DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a，b，c的大小关系是4、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在⊙O的5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心3m第3题第5题36、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是7、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则△ABC的外接圆面积为8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有条【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、圆是轴对称图形，都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分4、分一条弧成的点，叫做这条弧的中点。5、的距离叫做弦心距。6、垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径【典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。OCEDBA例2、如图所示，已知线段AB交⊙O于C、D两点，OA、OB分别交⊙O于E、F两点，且OA=OB，求证：AC=BDFEDCBAO温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？xyOABC60cm10cm4COABMNBOAP．ACOMNB温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例1、如图，已知M是⌒AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=43cm。（1）求圆心O到弦MN的距离（2）求∠ACM的度数【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等巩固练习1、下列说法正确的是（）A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）个A.2B.3C.4D.54、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为cm5、圆的半径等于23cm，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于6、如图，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为7、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦。若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为8、如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，-4）、N（0，-10），函数y=kx（x0）的图象过点P，则k=9、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为10、如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，则MN=11、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰AB的长第7题第6题OPMyAxN第8题第9题图第10题52.3米CBAEDAOBC12、如图，已知⊙O的半径为10cm，弦AB⊥CD，垂足为E，AE=4cm，BE=8cm，求弦CD的长13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB的长）为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米.⑴求该圆弧形所在圆的半径；⑵若该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有多大？14、⊙O的半径为2，弦BD=23，A为⌒BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。求四边形ABCD的面积。【课本相关知识点】1、中心对称图形：把一个图形绕着某一点，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的2、过中心对称图形的的任意一条直线可以平分其面积。3、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O旋转，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。4、圆心角：叫做圆心角。5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的（这就是圆心角定理）6、n°的圆心角所对的弧就是，圆心角和的度数相等。注意：在题目中，若让你求⌒AB，那么所求的是弧长7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。（姑且称之为圆心角定理的逆定理）注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。【典型例题】【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否例1、下列说法：①等弦所对的弧相等；②等弧所对的弦相等；③圆心角相等，所对的弦相等；④弦相等，所对的圆心角相等；⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个DCBOAE6PDCBA【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等例1、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PO平分∠APD。求证：AB=CD例2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBFEFCDAB例3、如图所示，AB、CD是⊙O的直径，CE∥AB交⊙O于点E，那么⌒AD与⌒AE相等吗？说明理由。EBDAC【题型三】计算弧的度数例1、如图所示，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若⌒AD的度数为40°，求⌒BE的度数EBOACD【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）NMO7NMOABCDNMOBADC巩固练习1、如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2、下列命题中，正确的是（）A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等3、在半径为1的圆中，长为2的弦所对的圆心角的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°4、在⊙O中，AD是直径，AB、AC是它的两条弦，且AD平分∠BAC，那么：①AB=AC；②⌒AB=⌒AC；③⌒BD=⌒CD；④AD⊥BC。以上结论中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、如图所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC等于（）A.140°B.135°C.130°D.125°6、如图，在⊙O中，⌒AB=2⌒CD，则弦AB和弦CD的关系是（）A.AB2CDB.AB2CDC.AB=2CDD.无法确定7、如图，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个。8、如图所示，在⊙O中，弦ABCD，OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（）A.OMONB.OM=ONC.OMOND.无法确定9、如图所示，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连续PA、PB。求证：PA=PBPDCBOA10、如图所示，M、N为AB、CD的中