计算方法考试试卷及答案

《计算方法》试卷A第1页（共2页）《计算方法》试卷（A卷）总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占学生总评成绩比例闭卷70%一、填空题（每空3分，共27分）1、若15.3x是的的近似值，则误差限是0.05，有2位有效数字。2、方程013xx在区间]2,1[根的牛顿迭代格式为1312131-)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx。3、对252)(23xxxf，差商]3,3,3,3[432f-2，]3,3,3,3,3[5432f0。4、数值积分中的梯形公式为)]()([2)(bfafabdxxfba，Simpson公式为)]()2(4)([6)(bfbafafabdxxfba。5、求解微分方程初值问题5.01)0(]1,0['hyxxyy用欧拉公式计算得到1y1，用改进的欧拉公式计算得到1y1.125。二、已知方程14xx在区间]2,0[内有根（1）用二分法求该方程的根，要求误差不超过0.5。（2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。解：（1）由题意，令分。3....,.........013)2(,01)0(,1)(4ffxxxf列表如下：k],[kkbakx符号)(kxf2bkka0+[0,2]-1+11+[1,2]-1.50.5所以取,5.11xx满足误差不超过0.5。...........................................7分(2)原方程等价变形为41xx，迭代函数41)(xx，……………………….2分则43)1(41)(xx且在区间]2,0[上141)1(41)(043xx，即1)(x…......5分所以41)(xx单调递增且在区间]2,0[上23)2(1)()0(1044xx，.7分符合简单收敛的全局收敛条件，所以收敛的简单迭代格式可构造为：315kkxx.............................................8分三、利用xxfsin)(在点2,6,0的函数值：(1)建立其拉格朗日插值多项式，并进行误差分析；(2)构造差商表，建立牛顿插值多项式。解：(1)由题意知，.1,2;21,6;0,0221100yxyxyx..........................2分所以过这三个点的拉格朗日插值函数为：)02)(62()6)(0(1)26)(06()2)(0(21)20)(60()2)(6(0)()()()(2211002xxxxxxxlyxlyxlyxL........................5分xxxxxx273)6(6)2(1821222222.....................................7分误差分析：)2)(6)(0()!12()()()12(2xxxfxR.........................8分由题知：1|-cos||)(|,sin)()3(fxxf|)2)(6(|61|)2)(6)(0()!12()(||)(|)12(2xxxxxxfxR...........................10分（2）建立差商表：............4分牛顿插值多项式为分6)....)(](,,[)](,[)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN分8.............273)6)(0(3)0(30222xxxxx分数27得分分数18得分xf(x)一阶二阶006213212323专业班级：姓名：学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………分数15得分《计算方法》试卷A第2页（共2页）四、确定以下求积公式中的系数，使其代数精度尽可能高，并确定代数精度。)1()0()1()(11CfBfAfdxxf解：令2,,1)(xxxf,代入上面式子并令其等号两端相等得到：......2分112111132021CAdxxCAxdxCBAdx.......6分解方程组可得：.31,34,31CBA..............8分所以此求积公式为：)1(31)0(34)1(31)(11fffdxxf，...............10分将3)(xxf，代入上式可验证等式成立，但是将4)(xxf代入上式等式不成立，所以此求积公式的代数精度为3.......................12分五、求解矛盾方程组32510111102121xx的最小二乘解。解，由题知，此矛盾方程组的系数矩阵分右端向量2.............................3251b,01121101A求得分4...................63330112110101121101AAT分6................................96325101121101bAT求解分可得最小二乘解为分，10......................1,18..........2121xxbAxxAATT六、（1）用高斯消去法求解方程组112123454321321321xxxxxxxxx；（2）对于方程组16837472545321321321xxxxxxxxx用雅克比迭代格式及其对应的赛德尔迭代格式求解是否收敛？并说明理由；写出两种迭代格式，取)0,0,0()0(x，计算)1(x。解:(1)高斯消去过程为：分4...........550082104111191308210411111112123454111231312325-rrrrrr回代可得解为:分6.........................3,6,1123xxx(2)由题此方程组的系数矩阵不是严格对角占优的，下用迭代矩阵的范数判断收敛性。可知雅各比迭代矩阵为：0818374072-51540JB....................4分，计算得140371JB.........................6分所以可以判断出解此方程的雅各比迭代格式及其相应的赛德尔迭代格式收敛。...............8分雅各比迭代格式为：赛德尔迭代格式为：分10.........)163(81)742(71)54(51)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx分14..........)163(81)742(71)54(51)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx分可得取）（12....)2,1,1(,)0,0,0()1(0TTxx分可得取）（16....)2843,75,1(,)0,0,0()1(0TTxx分数12得分分数10得分分数18得分…………………………密………………………………封………………………………线………………。。…………………………密………………………………封………………………………线……………………