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第31讲┃扇形的面积及圆锥的计算问题第31讲┃考点聚焦考点聚焦考点1圆的周长与弧长公式圆的周长若圆的半径是R，则圆的周长C＝________弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长l＝________.在应用公式时，n和180不再写单位2πRnπR180第31讲┃考点聚焦考点2扇形的面积公式扇形面积(1)S扇形＝______(n是圆心角度数，R是半径)；(2)S扇形＝______(l是弧长，R是半径)弓形面积S弓形＝S扇形±S△nπR236012lR第31讲┃考点聚焦考点3圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高；(2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________；(3)r是底面半径；(4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底面________的扇形侧面积S侧＝________全面积S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2半径母线周长πra第31讲┃归类示例归类示例►类型之一计算弧长命题角度：1．已知圆心角和半径求弧长；2．利用转化思想求弧长．第31讲┃归类示例[2012·广安]如图31－1，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为___________(结果用含π的式子表示)．图31－1(4＋3)π第31讲┃归类示例[解析]根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．第31讲┃归类示例∵Rt△ABC中，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动地翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个AA1的长，2个A1A2的长，∴点A经过的路线长＝120π×2180×3＋90π×3180×2＝(4＋3)π.►类型之二计算扇形面积第31讲┃归类示例命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．第31讲┃归类示例[2012·泰州]如图31－2，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算).图31－2第31讲┃归类示例[解析](1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；(2)将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；将△ABC向右平移3个单位，AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心，以22为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．第31讲┃归类示例解：(1)如图；(2)由平移，得A1C1∥B1E∥AC，A1C1＝B1E＝AC，∴四边形ACEB1、四边形A1C1EB1都是平行四边形，∴线段AC扫过区域的面积为S▱ACEB1＋S▱A1C1EB1＋S扇形C2A1B1＝4×2＋3×2＋45×π×（22）2360＝14＋π.第31讲┃归类示例[2010·新疆]圆心角都是90°的扇形AOB与扇形COD如图31－3所示那样叠放在一起，连接AC、BD.(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若AO＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．图31－3第31讲┃归类示例[解析](1)把△AOC旋转到△BOD，可知这两个三角形全等；(2)把阴影面积化为两个扇形面积的差．解：(1)证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD.又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD.(2)S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π×324－π×124＝2π(cm2)．第31讲┃归类示例求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．►类型之三和圆锥的侧面展开图有关的问题第31讲┃归类示例命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算．第31讲┃归类示例[2011·宁波]如图31－4，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为()图31－4A．4πB．42πC．8πD．82πD第31讲┃归类示例[解析]过C作CO⊥AB，则OC＝2,Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为2×OC×ACπ＝2×2×22π＝82π.►类型之四用化归思想解决生活中的实际问题第31讲┃归类示例命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题．第31讲┃归类示例[2012·山西]如图31－5是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()图31－5A.12π－923米2B.π－923米2C.6π－923米2D.6π－93米2C第31讲┃归类示例[解析]先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC＝12OA＝3，再在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由S阴影＝S扇形AOD－S△DOC，即可得出结论．∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，第31讲┃归类示例∴OC＝12OA＝12×6＝3(米)．∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴CD⊥OA.在Rt△OCD中，∵OD＝6米，OC＝3米，∴CD＝OD2－OC2＝62－32＝33(米)．∵sin∠DOC＝CDOD＝336＝32，∴∠DOC＝60°.∴S阴影＝S扇形AOD－S△DOC＝60×π×62360－12×3×33＝6π－923(米2)．第31讲┃回归教材回归教材解圆锥题的“四字诀”教材母题北师大版九下P145例圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)第31讲┃回归教材解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，则r＝582π，l＝582π2＋202≈22.03.S圆锥侧＝πrl≈12×58×22.03＝638.87(cm2)，638．87×20＝12777.4(cm2)．所以至少需要12777.4cm2的纸．第31讲┃回归教材[点析]解决圆锥题的“四字诀”：(1)“展”：就是把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开后展在一个平面上．(2)“围”：就是将扇形卷成圆锥侧面，它与“展”恰好相反．(3)“转”：绕直角三角形一条直角边所在直线旋转，旋转过程中直角三角形的这条直角边等于圆锥的高，另一条直角边等于圆锥的底面半径．(4)“剖”：就是将圆锥沿着它的轴将它一分为二，所得到的截面是等腰三角形，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径．第31讲┃回归教材中考变式1．[2013·南京]用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为()A．1cmB．2cmC．πcmD．2πcmA2．[2012·雅安]圆柱形水桶的底面周长为3.2πm，高为0.6m，它的侧面积是()A．1.536πm2B．1.92πm2C．0.96πm2D．2.56πm2B第31讲┃回归教材3．[2012·自贡]如图31－6，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是()图31－6A．10πcm2B．25πcm2C．60πcm2D．65πcm2B